أثر (جبر خطي)

في الجبر الخطي، أثر مصفوفة مربعة A يعرف بأنه مجموع الحدود على القطر الرئيسي.

$\mathrm{tr}(A) = a_{11} + a_{22} + \dots + a_{nn}=\sum_{i=1}^{n} a_{i i} \,$

حيث a_ii تمثل المدخل على الصف i والعمود i للمصفوفة A. بالمثل فإن أثر المصفوفة هو مجموع قيمها الذاتية، صانعًا منها لامتباينا بالنسبة لتغير الأساسات.

أمثلة

ليكن T عاملا خطيا ممثلا بالمصفوفة التالية:

$\begin{bmatrix}-2&2&-3\\ -1& 1& 3\\ 2 &0 &-1\end{bmatrix}.$

فإن tr(T) = −2 + 1 − 1 = −2.

يكون أثر مصفوفة الوحدة هو بعد الفضاء; وهذا يقود إلى تعميم البعد باستعمال الأثر. يكون أثر المسار (أي P² = P) هو ترتيب المسار. يكون أثر مصفوفة نيلبوتنت صفرا.

بشكل عام، إذا كانت f(x) = (x − λ₁)^d₁···(x − λ_k)^d_kهي مميز كثيرة الحدود للمصفوفة A, فإن

$\mathrm{tr}(A) = d_1 \lambda_1 + \cdots + d_k \lambda_k.\!$