أحادية حدود

من ويكيبيديا، الموسوعة الحرة
اذهب إلى: تصفح، ‏ ابحث

في الرياضيات، في سياق كثيرات الحدود، نعني بعبارة أحادية حدود أحد أمرين مختلفين:

  • مضاريب قوى المتغيرات.
  • أو المعنى السابق بالإضافة للسماح بالضرب في أية ثوابت.

هذا المقال يركز على المعنى الأول.

أحادية الحدود أساسا[عدل]

أول حقيقة بديهية حول أحاديات الحدود هي أن كل متعددة للحدود هي تركيبة خطية لعدد معين منهن. وبذلك، فإنهن يمثلن قاعدة للفضاء المتجهي لمتعددات الحدود.

العدد[عدل]

عدد أحاديات الحدود من الدرجة d في n من المتغيرات هو عدد التوافيق مع التكرار (لا يهم الترتيب، ويمكن تكرارالمتغيرات)، والتي تعطى بمعامل المجموعة المتعددة \textstyle{\left(\!\!{n\choose d}\!\!\right)}. بدلالة معاملات ثنائية حدودومن ثم مضروب تصاعدي, يعطى هذا بالعلاقة

\left(\!\!{n\choose d}\!\!\right) = \binom{n+d-1}{d} = \binom{d+(n-1)}{n-1} = \frac{1}{(n-1)!}(d+1)^{(n-1)}.

الصورة الأخيرة مفيدة بالذات كوننا نثبت عادة عدد المتغيرات ونغير في درجة بالمقابل لتثبيت بعد الفضاء. من هذا التعبير يجد المرء أنه لأجل n ثابتة يكون عدد أحاديات الحدودمن الدرجة d هو كثيرة حدود في d من الدرجة n-1 ومعامل أسبق 1/(n-1)!

فمثلاً، عدد أحاديات الحدودفي ثلاثة متغيرات (n=3) هو \textstyle{\frac{1}{2}}(d+1)^{(2)} = \textstyle{\frac{1}{2}}(d+1)(d+2), يكون الأعداد المثلثية، التي حدودها الأولى هي 1, 3, 6, 10.

علامات[عدل]

يعد تمثيل أحاديات الحدود مطلوبا في مجالات مثل المعادلات التفاضلية الجزئية. إذا كانت المتغيرات المستعملة تشكل عائلة مفهرسة مثل x_1, x_2, x_3,...، فإن من المفيد استعمال علامة متعددة الفهرسة: إذا كتبنا

\alpha = (a, b, c)

يمكن تعريف

x^{\alpha} = x_1^a\, x_2^b\, x_3^c

وتوفير الكثير من الوقت والكتابة.

انظر أيضا[عدل]

ملاحظات[عدل]