اختبار المشتقة الثانية

من ويكيبيديا، الموسوعة الحرة
اذهب إلى: تصفح، ‏ ابحث

في علم التفاضل, يعد اختبار المشتقة الثانية معيار ذا أهمية لمعرفة نوع النقطة الساكنة للدالة (عظمى، صغرى أم انقلاب) عند النقطة المعنية. ينص الفحص على أنه: إذا كانت الدالة f قابلة للاشتقاق مرتين عند نقطة ساكنة xبمعنى أنه \ f^{\prime}(x) = 0 , فإن:

  • إذا كانت \ f^{\prime\prime}(x) <  0 فإن \  f لها نهاية عظمى محلية عند \  x.
  • إذا كانت \  f^{\prime\prime}(x) > 0 فإن \ f لها نهاية صغرى محلية \ x.
  • إذا كانت \ f^{\prime\prime}(x) = 0,لاينص اختبار المشتقة الثانية على شيء عن النقطة \ x, يمكن أن تكون نقطة انقلاب.

في الحالة الأخيرة، بالرغم من أن الدالة قد يكون لها قيمة عظمى محلية أو صغرى محلية عند x, لأن الدالة "مسطحة" بما يكفي (أي أن \  f^{\prime\prime}(x) = 0) القيم العظمى والصغرىتظل غير محسوسة بالاشتقاق الثاني. في حالة كهذه يفضل اختبار المشتقة الثالثة. النقطة عند \  f^{\prime\prime}(x) = 0 تكون نقطة انقلاب إذا تغير تقعرها من أي من الجانبين. عل سبيل المثال, (0,0) هي نقطة انقلاب على \ f(x) =  x^3 لأن \  f^{\prime\prime}(0) = 0, و\  f^{\prime\prime}(-1)  < 0 و\  f^{\prime\prime}(1) > 0.

مبرهنة اختبار المشتقة الثانية[عدل]

لنفرض أن f''(x) > 0 (إثبات أن f''(x)  < 0 متصلة). حينئذ

0 < f''(x)  = \lim_{h \to 0} \frac{f'(x + h) - f'(x)}{h} = \lim_{h \to 0} \frac{f'(x +  h) - 0}{h}  = \lim_{h \to 0} \frac{f'(x+h)}{h}.

بالتالي, من أجلh صغيرة بما يكفي نحصل على

\frac{f'(x+h)}{h} > 0

ما يعني أن

f'(x+h) < 0 إذا كانت h < 0, و
f'(x+h) > 0 إذا كانت h > 0.

الآن, من اختبار المشتقة الأولى نعلم أن f لها نقطة محلية صغرى عند x.

انظر أيضا[عدل]

المصادر[عدل]