اختبار النسبة (رياضيات)

في الرياضيات، اختبار النسبة (بالإنجليزية: Ratio test)‏ هو اختبار يحدد تقارب المتسلسلة $\sum _{n=1}^{\infty }a_{n}$ من عدمه، حيث $a_{n}$ هو عدد حقيقي أو عقدي لا يساوي الصفر عندما يصير n كبيرا. أول من نشر هذا الاختبار هو عالم الرياضيات الفرنسي لورن دالمبير.

الاختبار

شجرة القرار المتعلقة باختبار النسبة

يستعمل الشكل الاعتيادي لهذه الاختبار النهاية التالية:

$L=\lim _{n\to \infty }\left|{\frac {a_{n+1}}{a_{n}}}\right|.$

(1)

ينص الاختبار على ما يلي:

• إذا كان L < 1 فإن المتسلسلة تتقارب مطلقا.
• إذا كان L > 1 فإن المتسلسلة تتباعد.
• إذا كان L = 1 أو لم تكن هذه النهاية موجودة، فإنه لا جدوى من هذا الاختبار لأن هناك متسلسلات متقاربات يحققن هذا الشرط ولكن هناك أيضا متسلسلات متباعدات أيضا يحققنه.

أمثلة

متقاربة لأن L < 1

لتكن المتسلسلة التالية :

$\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {n}{e^{n}}}$

استعمال اختبار النسبة يعطي النهاية التالية :

$L=\lim _{n\to \infty }\left|{\frac {a_{n+1}}{a_{n}}}\right|=\lim _{n\to \infty }\left|{\frac {\frac {n+1}{e^{n+1}}}{\frac {n}{e^{n}}}}\right|={\frac {1}{e}}<1.$

بما أن هذه النهاية هي أصغر قطعا من الواحد، فإن المتسلسلة تتقارب.

متباعدة لأن L > 1

لتكن المتسلسلة التالية :

$\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {e^{n}}{n}}.$

استعمال اختبار النسبة يعطي النهاية التالية :

$L=\lim _{n\to \infty }\left|{\frac {a_{n+1}}{a_{n}}}\right|=\lim _{n\to \infty }\left|{\frac {\frac {e^{n+1}}{n+1}}{\frac {e^{n}}{n}}}\right|=e>1.$

بما أن هذه النهاية هي أكبر قطعا من الواحد، فإن المتسلسلة تتباعد.

بدون جدوى لأن L = 1

لتكن المتسلسلات الثلاث التالية:

$\sum _{n=1}^{\infty }1,$

$\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n^{2}}},$

$\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{n+1}}{n}}.$

البرهان

In this example, the ratio of adjacent terms in the blue sequence converges to L=1/2. We choose r = (L+1)/2 = 3/4. Then the blue sequence is dominated by the red sequence r^k for all n ≥ 2. The red sequence converges, so the blue sequence does as well.

$\sum _{i=N+1}^{\infty }|a_{i}|=\sum _{i=1}^{\infty }\left|a_{N+i}\right|<\sum _{i=1}^{\infty }r^{i}|a_{N}|=|a_{N}|\sum _{i=1}^{\infty }r^{i}=|a_{N}|{\frac {r}{1-r}}<\infty .$

انظر أيضا

• نصف قطر التقارب