ارتفاع (مثلث)

من ويكيبيديا، الموسوعة الحرة
اذهب إلى: تصفح، ‏ ابحث
AN ارتفاع و BC قاعدة الارتفاع و النقطة N قدم الارتفاع


في الهندسة الرياضية، الارتفاع في المثلث هو الخط العمودي النازل من إحدى زوايا المثلث إلى الضلع المقابل لهذه الزاوية أو امتداد هذه الضلع.

و يعرف هذا الضلع المقابل لهذه الزاوية بـقاعدة الارتفاع، بينما تسمى نقطة التقاطع بين الارتفاع و قاعدته بـقدم الارتفاع.

حالات الارتفاع[عدل]

للارتفاع في المثلث ثلاث حالات إما أن يسقط داخل المثلث أو يكون ضلعاً فيه أو أن يسقط خارجه على امتداد قاعدة الارتفاع.

h_1,h_2,h_3 ارتفاعات في المثلثات A_1B_1C_1,A_2B_2C_2,A_3B_3C_3 على الترتيب


خصائص الارتفاع[عدل]

AD ارتفاع في مثلث متطابق الضلعيين، DC=DB
AN=b.\sin{C}=c.\sin{B}

المساحة = ½ الارتفاع × قاعدة الارتفاع.

  • إذا كان الارتفاع ضلعاً في مثلث ما فإن هذا المثلث قائم الزاوية في قدم الارتفاع.
  • في أي مثلث ثلاثة ارتفاعات تتقاطع في نقطة واحدة تعرف بـملتقى الارتفاعات ( تستخدم مبرهنة سيفا لاثبات ما سبق).
  • في أي مثلث ABC، زواياه A,B,C و أطوال أضلاعه a,b,c يعطى طول الارتفاع الساقط على BC بالقانون:

h=b.\sin{C}=c.\sin{B}

حساب طول الارتفاع[عدل]

في المثلث القائم[عدل]

الصيغة الأولى[عدل]

إذا كان الارتفاع h يقسم الوتر في المثلث ABC القائم في C إلى p و g فإن طول الارتفاع يعطى بالقانون:

h^2=pg

البرهان: إذا كان المثلث ABC قائم في C و CH ارتفاع قدمه H فإن المثلثان HBC و HCA متشابهان و من التشابه ينتج:

\frac{CH}{HB}=\frac{HA}{CH}

h ارتفاع في مثلث قائم الزاوية

\Rightarrow CH^2=HB.HA

و هو المطلوب.

الصيغة الثانية[عدل]

إذا كانت a,b,c أطوال أضلاع المثلث ABC القائم في C فإن الارتفاع الساقط على AB يعطى بالقانون:

h=\frac{ab}{c}

البرهان:

إذا كان المثلث ABC قائم في C و CH ارتفاع قدمه H فإن:

AC ارتفاع \Leftarrow مساحة المثلث = ½ BC × AC

كذلك CH ارتفاع \Leftarrow مساحة المثلث = ½ AB × CH

\Rightarrow AC.BC=AB.CH \Rightarrow CH =\frac{AC.BC}{AB}

و هو المطلوب.

في المثلث المتساوي الأضلاع[عدل]

الارتفاع في مثلث متقايس الاضلاع.png

اذا كان a طول ضلع المثلث المتطابق الأضلاع فإن طول الارتفاع فيه يعطى بالقانون:

h=\frac{a\sqrt{3}}{2}

البرهان:

ِِإذا كان ABC مثلث متطابق الأضلاع طول ضلعه a و AH ارتفاع فيه قدمه H فإن:

H منتصف BC ( من خواص الارتفاع السابق ذكرها ).

بتطبيق مبرهنة فيثاغورس على AHC

a^2=AH^2 + (\frac{a}{2})^2

\Rightarrow  AH^2 =\frac{3{a}^2}{4}

 \Rightarrow AH=\frac{a\sqrt{3}}{2}

و هو المطلوب.

ملتقى الارتفاعات[عدل]

ملتقى الارتفاعات
حالات ملتقى الارتفاعات

ملتقى الارتفاعات (orthocentre), أو "المركز القائم" لمثلث هو نقطة تقاطع ارتفاعات المثلث.

تتقاطع الارتفاعات في مثلث في نقطة واحدة ولذلك يكفي لإيجاد نقطة ملتقى الارتفاعت رسم ارتفاعين فقط في أي مثلث.

كما هو الحال في الارتفاعات فإن لملتقى الارتفاعات ثلاث حالات إما أن تكون داخل المثلث أو تكون رأساً في المثلث أو تكون خارجة عن المثلث.


مقطع قائم في هرم ثلاثي يظهر بأن نقطة التقاء ارتفاعات المثلث abc المشكل للمقطع تمر بالعمود ED من رأس الهرم المقطوع على الوجه المقابل له.

في الهندسة الفراغية، عندما يمثل المثلث مقطع قائم لهرم ثلاثي، فإن ملتقى ارتفاعات هذا المثلث يقع على المستقيم العمود من رأس الهرم المقطوع على الوجه المقابل له.

اقرأ أيضاً[عدل]