البرهان على أن e عدد غير جذري

من ويكيبيديا، الموسوعة الحرة
اذهب إلى: تصفح، ‏ ابحث

في الرياضيات، التمثيل بمتسلسلة لعدد أويلر e يأتي كما يلي:

e = \sum_{n = 0}^{\infty} \frac{1}{n!}\!

البرهان[عدل]

ظهر أول برهان على تسامي العدد e سنة 1873. سنتبع هنا طريقة ديفيد هيلبرت (1862 - 1943) والذي بسط البرهان الأصلي لتشارلز هيرمت. الفكرة هي كالتالي:

نفترض أن العدد e هو عدد جبري، وذلك للحصول على تناقض في النهاية. إذن توجد مجموعة منتهية من المعاملات الصحيحة c_{0},c_{1},\ldots,c_{n}\, التي تحقق المعادلة:

c_{0}+c_{1}e+c_{2}e^{2}+\cdots+c_{n}e^{n}=0\,

بحيث يكون كلا العددان c_0 وc_n مخالفين للصفر.

نختار عددا كبيرا k بما يكفي وذلك حسب قيمة n. 

نضرب طرفي المعادلة بـ \int^{\infty}_{0}\,، في حين سنستعمل الترميز التالي \int^{b}_{a}\, كاختصار للتكامل:

\int^{b}_{a} =\int^{b}_{a}x^{k}[(x-1)(x-2)\cdots(x-n)]^{k+1}e^{-x}\,dx\,.

سنصل إلى المعادلة:

c_{0}\int^{\infty}_{0}+c_{1}e\int^{\infty}_{0}+\cdots+c_{n}e^{n}\int^{\infty}_{0} = 0\,

والتي يمكن الآن كتابتها على الشكل:

P_{1}+P_{2}=0\,

حيث

P_{1}=c_{0}\int^{\infty}_{0}+c_{1}e\int^{\infty}_{1}+c_{2}e^{2}\int^{\infty}_{2}+\cdots+c_{n}e^{n}\int^{\infty}_{n}\,
P_{2}=c_{1}e\int^{1}_{0}+c_{2}e^{2}\int^{2}_{0}+\cdots+c_{n}e^{n}\int^{n}_{0}\,

الهدف الآن هو أن نبين من أجل k كبير بما يكفي، يستحيل تحقيق المتساويات أعلاه لأن :\frac{P_{1}}{k!}\, هو عدد صحيح يخالف الصفر، في حين العدد \frac{P_{2}}{k!}\, ليس كذلك.

والسبب في أن \frac{P_{1}}{k!}\, عدد صحيح يخالف الصفر يأتي من العلاقة:

\int^{\infty}_{0}x^{j}e^{-x}\,dx=j!\,

وهي صحيحة لكل عدد صحيح موجب j ويمكننا البرهنة عليها بالترجع عن طريق مكاملة بالأجزاء.

ولكي نبرهن على أن:

\left|\frac{P_{2}}{k!}\right|<1\, من أجل k كبير بما يكفي

نشير أولا إلى أن x^{k}[(x-1)(x-2)\cdots(x-n)]^{k+1}e^{-x}\, هو جداء الدوال [x(x-1)(x-2)\cdots(x-n)]^{k}\, و(x-1)(x-2)\cdots(x-n)e^{-x}\,. وباستعمال المحد العلوي لـ |x(x-1)(x-2)\cdots(x-n)|\, و|(x-1)(x-2)\cdots(x-n)e^{-x}|\, على المجال [n,0] وبما أن:

\lim_{k\to\infty}\frac{G^k}{k!}=0\, لكل عدد حقيقي G.

وهذا كاف لإكمال البرهان.

يمكن استعمال طريقة ممثالة، مختلفة عن عن المقاربة الأصلية لـ (لندمان)، للبرهنة على أن e عدد متسام. زيادة على ذلك، تلعب بعض التقديرات وبعض خصائص الحدوديات المتماثلة دورا حيويا في البرهان.

انظر أيضا[عدل]

مراجع[عدل]

Midori Extension.svg
هذه بذرة مقالة بحاجة للتوسيع. شارك في تحريرها.