الدوال المثلثية العكسية

في الرياضيات،الدوال المثلثية العكسية هي الدوال العكسية للدوال المثلثية معرفة على مجالات محدودة مناسبة معينة.

اشتقاقات الدوال المثلثية العكسية

مقال تفصيلي :تفاضل الدوال المثلثية

تُبين فيما يلي، اشتقاقات الدوال المثلثية العكسية بالنسبة لقيم عقدية أو حقيقية للمتغير x:

$\begin{align} \frac{d}{dx} \arcsin x & {}= \frac{1}{\sqrt{1-x^2}}\\ \frac{d}{dx} \arccos x & {}= \frac{-1}{\sqrt{1-x^2}}\\ \frac{d}{dx} \arctan x & {}= \frac{1}{1+x^2}\\ \frac{d}{dx} \arccot x & {}= \frac{-1}{1+x^2}\\ \frac{d}{dx} \arcsec x & {}= \frac{1}{x\,\sqrt{x^2-1}}\\ \frac{d}{dx} \arccsc x & {}= \frac{-1}{x\,\sqrt{x^2-1}} \end{align}$

المتساويتان التاليتان صالحتان فقط عندما يكون العدد x حقيقيا:

$\begin{align} \frac{d}{dx} \arcsec x & {}= \frac{1}{|x|\,\sqrt{x^2-1}}; \qquad |x| > 1\\ \frac{d}{dx} \arccsc x & {}= \frac{-1}{|x|\,\sqrt{x^2-1}}; \qquad |x| > 1 \end{align}$

على سبيل المثال، إذا توفر $\theta = \arcsin x \!$, فإنه يُحصل على ما يلي:

$\frac{d \arcsin x}{dx} = \frac{d \theta}{d \sin \theta} = \frac{d \theta}{\cos \theta d \theta} = \frac{1} {\cos \theta} = \frac{1} {\sqrt{1-\sin^2 \theta}} = \frac{1}{\sqrt{1-x^2}}$

الكسور المستمرة لدالة الظل العكسية

فيما يلي، كسران مستمران معممان يمثلان دالة الظل العكسية. قد يستعملان كتويض لمتسلسلة القوى للتعبير عن دالة الظل العكسية.

$\arctan z=\cfrac{z} {1+\cfrac{(1z)^2} {3-1z^2+\cfrac{(3z)^2} {5-3z^2+\cfrac{(5z)^2} {7-5z^2+\cfrac{(7z)^2} {9-7z^2+\ddots}}}}} =\cfrac{z} {1+\cfrac{(1z)^2} {3+\cfrac{(2z)^2} {5+\cfrac{(3z)^2} {7+\cfrac{(4z)^2} {9+\ddots\,}}}}}\,$

انظر أيضا

• دوال مثلثية,
• قائمة المتطابقات المثلثية,
• لوغارتم عقدي,
• عمدة عدد مركب (تحليل عقدي),
• جذر تربيعي,
• كسر غاوس المستمر,
• قائمة تكاملات الدوال المثلثية العكسية