القيم الذاتية والمتجهات الذاتية

من ويكيبيديا، الموسوعة الحرة
اذهب إلى: تصفح، ‏ ابحث
في هذا shear mapping السهم الأحمر يغير اتجاهه بينما السهم الأزرق لم يغير اتجاهه. إذن ، السهم الأزرق هو متجهة ذاتية, مع قيمة ذاتية مساوية ل 1 بما أن طول المتجهة واتجاهها لم يتغيرا.

القيمة الذاتية، ( قد تسمى القيمة الممتلكة أو القيمة الفطرية) (بالإنكليزية: eigenvalue) والمتجه الذاتي (بالإنكليزية: eigenvector) والفضاء الذاتي (بالإنكليزية: eigenspace) في الرياضيات هي اصطلاحات متعلقة بالجبر الخطي. البادئة eigen مشتقة من الألمانية (تلفظ «أيْ-غِن») وتعني متأصل أو ذاتي أو خاص.

يهتم الجبر الخطي بدراسة التحويلات الخطية، والتي تمثلها مصفوفات مؤثرة على متجهات. تعد القيم الذاتية والمتجهات الذاتية والفراغات الذاتية خواص المصفوفة. يتم حسابها بواسطة طريقة تعطي معلومات عن المصفوفة ويمكن استعمالها في تفكيك المصفوفة. لهذا النوع تطبيقاته الخاصة في مجالات الرياضيات التطبيقية وبشكل أوسع في التمويل وميكانيكا الكم.

عموماً، تؤثر مصفوفة على متجه بتغيير كلاً من قيمته واتجاهه. لكن يمكن أن تؤثر المصفوفة على بعض المتجهات بتغيير قيمها مع الإبقاء على اتجاهاتها دون تغيير (أو ربما عكسها). تمثل هذه المتجهات متجهات ذاتية للمصفوفة. تؤثر مصفوفة على متجه ذاتي بضرب قيمته بعامل معين، والذي يكون موجباً عندما لايتغير اتجاهه وسالباً إن انعكس الاتجاه. يمثل هذا العامل القيمة الذاتية المصاحبة لذلك المتجه الذاتي. يكون الفضاء الذاتي مجموعة كل المتجهات الذاتية التي لها نفس القيمة الذاتية، معاً ومع المتجه الصفري. لا يمكن تعريف المفهوم بشكل رسمي بدون متطلبات أساسية، بما فيها فهم المصفوفات والمتجهات والتحويلات الخطية.

بتعبير رسمي، إذا كانت A مصفوفة مربعة الشكل، فإن متجها لا صفريا x يكون متجها ذاتيا لA إذا وجد عدد λ حيث

A\mathbf{x} = \lambda \mathbf{x} \,.

يسمى العدد λ قيمة ذاتية لA تقابل المتجه الذاتيx.

تعريف[عدل]

المتطلبات والهدف[عدل]

تعمل المصفوفة A على تمديد المتجهة x, وليس على تغير اتجاهها, إذن x هي متجهة ذاتية للمصفوفة A.

مثال[عدل]

مصفوفة التحويل \bigl[ \begin{smallmatrix} 2 & 1\\ 1 & 2 \end{smallmatrix} \bigr] تحافظ على المتجهات الموازية ل \bigl( \begin{smallmatrix} 1 \\ 1 \end{smallmatrix} \bigr) (باللون الأزرق) و\bigl( \begin{smallmatrix} 1 \\ -1 \end{smallmatrix} \bigr) باللون البنفسجي. النقط التي تقع على المستقيم المار من مركز المعلم, الموازي لمتجهة ذاتية, تبقى على هذا المستقيم بعد التحويل. المتجهات المبينة باللون الأحمر ليست متجهات ذاتية, هكذا، تغير اتجاهها بعد التحويل.

بالنسبة للمصفوفة A

A = \begin{bmatrix} 2 & 1\\1 & 2 \end{bmatrix}.

المتجهة

\mathbf x = \begin{bmatrix} 3 \\ -3 \end{bmatrix}

هي متجهة ذاتية بقيمة ذاتية مساوية ل 1. يظهر ذلك من خلال ما يلي.

A \mathbf x = \begin{bmatrix} 2 & 1\\1 & 2 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 3 \\ -3 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 2 \cdot 3 + 1 \cdot (-3) \\ 1 \cdot 3 + 2 \cdot (-3) \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 3 \\ -3 \end{bmatrix} = 1 \cdot \begin{bmatrix} 3 \\ -3 \end{bmatrix}.

من جهة ثانية، المتجهة

\mathbf x = \begin{bmatrix} 0 \\ 1 \end{bmatrix}

ليست متجهة ذاتية بما أن

\begin{bmatrix} 2 & 1\\1 & 2 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 0 \\ 1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 2 \cdot 0 + 1 \cdot 1 \\ 1 \cdot 0 + 2 \cdot 1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 \\ 2 \end{bmatrix}.

وهاته المتجهة ليست مضاعفا للمتجهة الأصلية x.

تعريف رسمي[عدل]

مقاربة الرياضيات التفاضلية للقيمة الممتلكة[عدل]

حساب حل معادلة تفاضلية من الدرجة الأولى: على سبيل المثال, المعادلة التفاضلية البسيطة التالية (مع غض الطرف مبدئيا عن وجوب اعتبار الشروط الأولى أي عند حساب الحل):

\mathcal {}Ax=\lambda x


\dot{x}+10x=0

و لنحاول البحث عن حل هذه المعادلة. المعروف هو أنه يمكن أن نقول أن حل هذالمعادلة هو:

\mathcal {}e^{ct}

أي أن \mathcal {}x=e^{ct} وإذا عوضت \mathcal {}x ب \mathcal {}e^{ct} فإنك تتحصل على المعادلة التالية:

\frac{d}{dt} (e^{ct})+10e^{ct}=0

أي \mathcal {}ce^{ct}+10e^{ct}=0

أي بعد أن نشطب \mathcal {}e^{ct} من المعادلة فإنك تتحصل على المعادلة \mathcal {}c+10=0 وهذا بدوره يعني أن\mathcal {}c=-10.

القيمة الممتلكة[عدل]

في عملية الحساب أعلاه, بُسطت معادلة تفاضلية من الدرجة الأولى إلى معادلة بسيطة لحساب القيمة الممتلكة c ألا وهي المعادلة -c+10=0. يمكن تعميم هذه الطريقة أي كيفية الوصول من معادلة تفاضلية ذات درجة ثانية أو ثالثة أو غيرهما إلى المعادلة لحساب القيمة الممتلكة أو في هذه الحالة القيم الممتلكة (لأن درجة العلاقة التفاضلية تتطابق دائما مع عدد القيم الخاصة التي تحسبها حيث يكون من الضروري في هذه الحالة حل كثيرات حدود وأن تراعي طبعا أن بعض الحلول قد تكون مكررة أي أنه يجب أن تعدها عدة مرات حتى تكون هذه الملاحظة).
كما يجدر الإشارة إلى أن هذه الطريقة أو المعالجة حيث فقط للنظم أو المعادلات التفاضلية الخطية أي أنه في صورة انعدام الخطية لا يمكن الحديث عن قيمة ممتلكة.
كما أن القيمة الممتلكة تعلمنا إذا كان نظام ما مستقرا (إذا كانت القيمة الممتلكة سالبة) أو غير مستقر (إذا كانت القيمة موجبة). وهي كذلك دليل على سرعة النظام أو سرعة رده (إذا كانت القيمة المطلقة للقيمة الممتلكة كبيرة فإن النظام سريع أي سرعة ردة فعله سريعة).

القيم الذاتية والمتجهات الذاتية للمصفوفات[عدل]

الحساب[عدل]

det(λI-A)=0 حيث Ι هي المصفوفة الوحدة

التاريخ[عدل]

عادة ما تذكر القيم الذاتية في مجال الخط الجبري أو نظرية المصفوفات، ولكنه من الناحية التاريخية، فإنها برزت خلال دراسة الصيغ التربيعية والمعادلات التفاضلية.

تعميمات[عدل]

تطبيقات[عدل]

معادلة شرودنغر[عدل]

انظر معادلة شرودنغر.

المدارات الجزيئية[عدل]

علم الأرض وعلم الجليد[عدل]

تحليل العنصر الرئيسي[عدل]

تحليل اهتزاز[عدل]

الأوجه الذاتية[عدل]

عدد إعادة الإنتاج الأساسي[عدل]

انظر أيضا[عدل]

مراجع[عدل]

وصلات خارجية[عدل]

Nuvola apps edu mathematics-ar.svg هذه بذرة مقالة عن الرياضيات بحاجة للتوسيع. شارك في تحريرها.