تجزئة مجموعة

تجزئة مجموعة M هي مجموعة من أجزاء M, غير فارغة وغير متقاطعة, تغطي M كليا.

التعريف

لتكن M مجموعة ما. J مجموعة من أجزاء M . نقول أن J تجزئة ل M إذا كان :

• كل عنصر من J مجموعة غير فارغة.
• اتحاد عناصر J يساوي M
• عناصر J مجموعات منفصلة (غير متقاطعة) مثنى مثنى.

عناصر J تسمى أجزاء التجزئة.

أمثلة

• M مجموعة ما. { J = { M تجزئة ل M.
• المجموعة { M = {1, 2, 3 لها 5 تجزئات :

- { {1, 2, 3} },

- { {1, 2}, {3} },

- { {1, 3}, {2} },

- { {1}, {2, 3} },

- { {1}, {2}, {3} }

• { {}, {1,3}, {2} } ليست تجزئة لأنها تضم مجموعة فارغة، * { {1, 2}, {2, 3} } ليست تجزئة لأن العناصر {1, 2} و{2, 3} متقاطعة,
• { {1}, {2} } ليست تجزئة لأن العناصر لا تغطي M كليا.

علاقة الترتيب على تجزئات مجموعة

M مجموعة ما. J وI تجزئتين لM.

نقول أن J أدق من I ونكتب J < I إذا كان كل عنصر من J جزء من أحد عناصرI.

< تعرف علاقة ترتيب جزئية على مجموعة تجزئات M.

مثال { {1}, {2}, {3} }= J أدق من { {1}, {2, 3} }= I.

عدد تجزئات مجموعة منتهية

نسمي عدد بيل B_n, عدد تجزئات مجموعة منتهية من n عنصر.

مثال : B₀ = 1, B₀ = 1, B₂ = 2, B₃ = 5, B₄ = 15, B₅ = 52, B₆ = 203

الدالة الأسية المولدة للمتتالية B_n هي :

$\sum_{n=0}^\infty\frac{B_n}{n!}z^n=e^{e^z-1}.$.

كما تحقق Bn علاقة الترجع التالية $B_{n+1}=\sum_{k=0}^n {n\choose k}B_k$