تحويل فوريي

من ويكيبيديا، الموسوعة الحرة

إنّ تحويل فورييه هو عملية رياضية تستخدم لتحويل دالّة رياضية بمتغير حقيقي وذات قيم مركّبة إلى دالّة أخرى من نفس الطراز. وكثيرًا ما يطلق على هذه الدالة الجديدة لقب التمثيل في نطاق التّردّد للدالة الأصلية. والأمر شبيه بتدوين الكورد الموسيقي بواسطة النغمات التي يتكون منها ذلك الكورد. عمليًا، فإنّ التحويل يقوم بتحليل الدالّة الأصل إلى مركّباتها من الدوال التوافقية المركّبة. وإنّ تحويل فورييه ما هو إلاّ إحدى الأدوات الرياضية المتوفّرة في ضمن مجال تحليل فورييه. في تحويل فورييه الأصلي، والذي خصّصت له هذه الصفحة، فإنّ نطاق الدالة الأصليّة ونطاق الدالة الناتجة هما نطاقان مستمرّان وغير محدودين. قد يستخدم المصطلح تحوييل فورييه إمّا للإشارة إلى العملية الرياضيّة نفسها، أو للإشارة إلى الدالة الناتجة عن التحويل (فمثلاً، تكون الدالة $F$ هي تحويل فورييه للدالة $f$ ).

[عدل] مقدمة وتعريف

ليس هنالك تعريفًا رياضيًا واحدًا ووحيدًا لتحويل فورييه. في هذه الصفحة سنعرف التحويل على أنّه عملية (أي operator) كالضرب أو الجمع ولكنها أكثر تعقيدًا حيث أنها عملية لدالّة وليس لعدد. على هذه الدالة، $g:\mathbb{R} \to \mathbb{C}$ أن تكون قابلة للتكامل، وعندها يعرّف تحويل فورييه للدالة $g (x)$ ، على أنّه:

$G(f) := \int^{+\infty}_{-\infty}g(x)e^{-i2 \pi x f}dx$ ، لكل

f

حقيقي، وبحيث أنّ

i 2 = - 1

.

يستخدم تحويل فورييه كثيرًا في تحليل الإشارات ومعرفة الترددات التي تضمّنها، وفي هذه الحالة يمثّل المتغيّر $x$ الزمن، في حين يمثّل المتغيّر $f$ ترددًا زمنيًا يقاس بوحدات الهرتس.

إذا تحقٌقت بعض الشروط الرياضيّة، فبالإمكان إعادة بناء الدالة الأصلية، $g$ ، من تحليل فورييه، $G$ ، بواسطة تحويل فورييه معاكس:

$g(x) = \int^{+\infty}_{-\infty}G(f)e^{i2 \pi x f}df$ ، لكل

x

حقيقي.

في هذه الحالة تدعى الدالتين $g$ و $G$ زوج فورييه.

[عدل] خواص

دالة قابلة للتكامل هي دالّة $g : \mathbb{R} \to \mathbb{C}$ تحقّق:

$\int^{+\infty}_{-\infty}\left | g(x)\right |dx < \infty$

لدالة كهذه هنالك تحويل فورييه.

[عدل] خواص أساسيّة

لنفرض أنّ الدوال $g \left (x \right )$ و $h \left (x \right )$ و $s \left (x \right )$ هي دوال قابلة للتكامل، ولندوّن تحويلات فورييه لكل منها بـ $G \left (f \right )$ و $H \left (f \right )$ و $S \left (f \right )$ على التوالي. لتحويل فورييه الخواص الأساسيّة التالية: