تحويل لابلاس

من ويكيبيديا، الموسوعة الحرة
اذهب إلى: تصفح، ‏ ابحث

تحويل لابلاس عملية تجرى على الدوال الرياضية لتحويلها من مجال إلى آخر، وعادة يكون التحويل من مجال الزمن إلى مجال التردد، وهو شبيه بتحويل فوريي إلا أنه تم تطويرهما بشكل مستقل. وتحويل لابلاس مفيد في تحليل النظم الخطية (بخلاف تحويل فوريي الذي يستخدم عادة في تحليل الإشارات)، كما يستخدم لحل المعادلات التفاضلية لأنه يحولها إلى معادلات جبرية. وسمي التحويل بهذا الاسم نسبة إلى العالم الفرنسي لابلاس الذي عاش في القرن التاسع عشر.

مقدمة[عدل]

إذا رمزنا ب t للزمن
واعتبرنا s عددا مركبا
فإن تحويل لابلاس الذي نرمز له هنا ب L هو تبسيطا عملية تحول إشارة أو دالة من دالة بمتغير هو الزمن إلى دالة بمتغير هو التردد.أما الأصح هو أنها مؤثر يحول دالة بمتغير قيمته عدد حقيقي إلى دالة بمتغير ذا قيمة معقدة (عدد مركب).

تحويل الدالة من متغير في الزمن إلى دالة في متغير للمسافة مثلا مثال ذلك تحويل السرعة المتغيرة التي هي دالة في الزمن إلى دالة في المسافة تحويل درجة الحرارة من دالة في الزمن إلى دالة في درجة حرارة المصدر
f(t)^{\rightarrow^{L}}_{\leftarrow_{l}}F(s)
و دالة التحويل L أي التي تحول دالة بمتغير هو الزمن إلى دالة بمتغير هو التردد يمكن حسابها على النحو الآتي:

L\left\{f(t)\right\}=F(s)=\int^{\infty}_{0}f(t)e^{-st}dt
و كما يوجد تحويل لابلاس فإنه يوجد تحويل لابلاس معاكس، ويُرمز له بالرمز  \mathcal{L}^{-1} \ وهو يقوم بالتحويل العكسي لتحويل لابلاس أي من دالة بمتغير قيمته معقدة إلى دالة بمتغير قيمته حقيقية. ويمكن حساب هذه العملية على النحو التالي:

f(t) = \mathcal{L}^{-1} \{F\} = \mathcal{L}^{-1}_s \{F(s)\} := \frac{1}{2 \pi i} \lim_{T\to\infty}\int_{ \gamma - i T}^{ \gamma + i T} e^{st} F(s)\,ds,

خصائص ونظريات[عدل]

هناك مجموعة من الخصائص لتحويل لابلاس لابد من معرفتها لتسهيل استخدامه وبخاصة في تحليل النظم الخطية، من أهمها حالات التفاضل والتكامل.

والجدول التالي يبين ملخصا لهذه الخصائص والنظريات:

إذا كان هناك دالتين:

(f(t و (g(t وكان تحويل لابلاس لهما هو: (G(s و (G(s

 f(t) = \mathcal{L}^{-1} \{  F(s) \}
 g(t) = \mathcal{L}^{-1} \{  G(s) \}

وفيما يلي بيان تلك الخصائص والنظريات transform:[1]

خصائص تحويل لابلاس
مجال الزمن t مجال التردد s ملاحظات
الخطية  a f(t) + b g(t) \  a F(s) + b G(s) \ يمكن إثباتها بالقواعد الأساسية للتكامل.
التفاضل (الاشتقاق) في مجال التردد  t f(t) \  -F'(s) \ F′ هي المشتقة الأولى لـ F.
التفاضل (الاشتقاق) في مجال التردد  t^{n} f(t) \  (-1)^{n} F^{(n)}(s) \ F(n)′ هي المشتقة رقم n لـ F.
التفاضل (الاشتقاق) في مجال الزمن  f'(t) \  s F(s) - f(0) \ بفرض f قابلة للاشتقاق، ومشتقاتها على صورة دالة أسية للثابت الطبيعي e. ويمكن إثبات ذلك بواسطة التكامل بالتجزيء
التفاضل (الاشتقاق) الثاني في مجال الزمن  f''(t) \  s^2 F(s) - s f(0) - f'(0) \ بفرض f قابلة للاشتقاق مرتين، ومشتقاتها الثانية على صورة دالة أسية للثابت الطبيعي e
التفاضل (الاشتقاق) عامةً في مجال الزمن  f^{(n)}(t)  \  s^n F(s) - \sum_{k=1}^{n} s^{k-1} f^{(n-k)}(0) \ بفرض f قابلة للاشتقاق n من المرات، ومشتقاتها رقم n على صورة دالة أسية.
تكامل في مجال التردد  \frac{f(t)}{t}  \  \int_s^\infty F(\sigma)\, d\sigma \ يمكن استنتاجه باستخدام التفاضل في مجال التردد.
التكامل في مجال الزمن  \int_0^t f(\tau)\, d\tau  =  (u * f)(t)  {1 \over s} F(s) u(t) هي دالة قفزة. لاحظ أن: (uf)(t) يمثل التفاف (رياضيات) of u(t) و f(t).
تحجيم الزمن f(at)  \frac{1}{|a|} F \left ( {s \over a} \right )
إزاحة التردد  e^{at} f(t)  \  F(s - a) \
إزاحة الزمن  f(t - a) u(t - a) \  e^{-as} F(s) \ u(t) هي دالة قفزة أحادية
ضرب f(t)g(t)  \frac{1}{2\pi i}\lim_{T\to\infty}\int_{c-iT}^{c+iT}F(\sigma)G(s-\sigma)\,d\sigma \ التكامل يتم على الخط الرأسي Re(σ) = c الذي يقع في منطقة تقارب F.[2]
التفاف (رياضيات)  (f * g)(t) = \int_0^t f(\tau)g(t-\tau)\,d\tau  F(s) \cdot G(s) \
مرافق عدد مركب  f^*(t)  F^*(s^*)
ارتباط (إحصاء)  f(t)\star g(t)  F^*(-s^*)\cdot G(s)
دالة دورية f(t) {1 \over 1 - e^{-Ts}} \int_0^T e^{-st} f(t)\,dt f(t) هي دالة دورية زمنها الدوري هو T أي أن f(t) = f(t + T), لكل t ≥ 0.

بعض الدوال ومقابلها في تحويل لابلاس[عدل]

f(x)= {{1 \over {2 \pi j} }\int_{c+j\infty}^{c-j\infty} F(s) e^{st} ds} F(s) = \int_{0}^{\infty} f(t)e^{-st} dt
\delta (t) 1
h(t) 1\over s
t^{n} n! \over s^{n+1}
t^{n}e^{-at} n! \over {(s+a)^{n+1}}
\cos w_{0}t s \over {s^2 + w_0^2}
\sin w_0t w_0 \over {s^2 + w_0^2}
e^{-at}\cos w_0t s+a \over {(s+a)^2+w_0^2}
e^{-at}\sin w_0t w_0 \over {(s+a)^2+w_0^2}
t\cos w_0t s^2 - w_0^2 \over {(s^2+w_0^2)^2}
t\sin w_0t 2w_0s \over {(s^2+w_0^2)^2}

أهمية وفوائد تحويل لابلاس[عدل]

تسهيل حل المعادلات التفاضلية[عدل]

فلنعتبر مثلا المعادلة التفاضلية التالية:

2\ddot{x(t)}+3\dot{x(t)}+4x(t) = f(t)

مع اعتبار الحالة أو قيمة x في الزمن 0 أي أخذ ما يسمى بال initial conditions بعين الاعتبار:

\dot{x(0)}=a وx(0)=b

إعطاء الحل مباشرة لهذه المعادلة (التي قد تكون مثلا معادلة جسم يقوم بحركة ما أي أنها نموذج عنه) قد يكون صعبا فما العمل? الحل هو تحويل المعادلة عن طريق تحويل لابلاس فتصير المعادلة كالاتي:

2(s^{2}X(s)-sx(0)-\dot{x(0)})+3(sX(s)-x(0))+4X(s) = F(S)

و ذلك عملا بالقاعدة التي تقول

و بذلك كل ما تبقى فعله الآن هو حل معادلة غير تفاضلية بسيطة وهي معادلة بولينوم من الدرجة الثانية.

طرق رياضياتية مساعدة[عدل]

كثيرا ما نحتاج إلى استخدام طريقة إكمال المربع عند حساب تحويلات لابلاس العسكية، وذلك لوضع الدالة المراد تحويلها في صورة مربعة تناسب أحد الصور الموجودة بالجدول السابق.

مراجع[عدل]

  1. ^ Korn & Korn 1967, pp. 226–227
  2. ^ Bracewell 2000, Table 14.1, p. 385