تحويل لابلاس

تحويل لابلاس عملية تجرى على الدوال الرياضية لتحويلها من مجال إلى آخر، وعادة يكون التحويل من مجال الزمن إلى مجال التردد، وهو شبيه بتحويل فوريي إلا أنه تم تطويرهما بشكل مستقل. وتحويل لابلاس مفيد في تحليل النظم الخطية (بخلاف تحويل فوريي الذي يستخدم عادة في تحليل الإشارات)، كما يستخدم لحل المعادلات التفاضلية لأنه يحولها إلى معادلات جبرية. وسمي التحويل بهذا الاسم نسبة إلى العالم الفرنسي لابلاس الذي عاش في القرن التاسع عشر.

مقدمة

إذا رمزنا ب t للزمن
واعتبرنا s عددا مركبا
فإن تحويل لابلاس الذي نرمز له هنا ب L هو تبسيطا عملية تحول إشارة أو دالة من دالة بمتغير هو الزمن إلى دالة بمتغير هو التردد.أما الأصح هو أنها مؤثر يحول دالة بمتغير قيمته عدد حقيقي إلى دالة بمتغير ذا قيمة معقدة (عدد مركب).

تحويل الدالة من متغير في الزمن إلى دالة في متغير للمسافة مثلا مثال ذلك تحويل السرعة المتغيرة التي هي دالة في الزمن إلى دالة في المسافة تحويل درجة الحرارة من دالة في الزمن إلى دالة في درجة حرارة المصدر
$f(t)^{\rightarrow^{L}}_{\leftarrow_{l}}F(s)$
و دالة التحويل L أي التي تحول دالة بمتغيير هو الزمن إلى دالة بمتغيير هو التردد يمكن حسابها على النحو الآتي:

$L\left\{f(t)\right\}=F(s)=\int^{\infty}_{0}f(t)e^{-st}dt$
و كما يوجد تحويل لابلاس فإنه يوجد تحويل لابلاس معاكس رمزت له هنا ب l وهو يقوم بالتحويل العكسي لتحويل فوريي أي من دالة بمتغير قيمته معقدة إلى دالة بمتغير قيمته حقيقية. ويمكن حساب هذه العملية على النحو التالي:

=$l\left\{F(s)\right\}=\frac{1}{2\Pi j}\int^{c+j\infty}_{c-j\infty}F(s)e^{st}ds$

بعض الدالات ومقابلها في تحويل لابلاس

$f(x)= {{1 \over {2 \pi j} }\int_{c+j\infty}^{c-j\infty} F(s) e^{st} ds}$	$F(s) = \int_{0}^{\infty} f(t)e^{-st} dt$
$\delta (t)$	$1$
$h(t)$	$1\over s$
$t^{n}$	$n! \over s^{n+1}$
$t^{n}e^{-at}$	$n! \over {(s+a)^{n+1}}$
$\cos w_{0}t$	$s \over {s^2 + w_0^2}$
$\sin w_0t$	$w_0 \over {s^2 + w_0^2}$
$e^{-at}\cos w_0t$	$s+a \over {(s+a)^2+w_0^2}$
$e^{-at}\sin w_0t$	$w_0 \over {(s+a)^2+w_0^2}$
$t\cos w_0t$	$s^2 - w_0^2 \over {(s^2+w_0^2)^2}$
$t\sin w_0t$	$2w_0s \over {(s^2+w_0^2)^2}$

أهمية وفوائد تحويل لابلاس

تسهيل حل المعادلات التفاضلية

فلنعتبر مثلا المعادلة التفاضلية التالية:

$2\ddot{x(t)}+3\dot{x(t)}+4x(t) = f(t)$

مع اعتبار الحالة أو قيمة x في الزمن 0 أي أخذ ما يسمى بال initial conditions بعين الاعتبار:

$\dot{x(0)}=a$ و$x(0)=b$

إعطاء الحل مباشرة لهذه المعادلة (التي قد تكون مثلا معادلة جسم يقوم بحركة ما أي أنها نموذج عنه) قد يكون صعبا فما العمل? الحل هو تحويل المعادلة عن طريق تحويل لابلاس فتصير المعادلة كالاتي:

$2(s^{2}X(s)-sx(0)-\dot{x(0)})+3(sX(s)-x(0))+4X(s) = F(S)$

و ذلك عملا بالقاعدة التي تقول

و بذلك كل ما تبقى فعله الآن هو حل معادلة غير تفاضلية بسيطة وهي معادلة بولينوم من الدرجة الثانية.