تحويل ليجاندر

من ويكيبيديا، الموسوعة الحرة
اذهب إلى: تصفح، ‏ ابحث
رسم يوضح تحويل ليجاندر (انظر معناه الهندسي).

تحويل ليجاندر في الرياضيات و الفيزياء (بالإنجليزية:Legendre Transformation ) هو تحويل رياضي ينتسب إلى عالم الرياضيات أدريان ليجاندر يختص بتحويل التماس ويشكل طريقة حسابية هامة لتحويل المتغيرات في الدوال الرياضية . فهو يحول دالة من نوع f(x) إلى دالة g(u)

حيث ينشأ المتغير g من مشتقة الدالة f .

أي أن :

u=\tfrac{\partial f}{\partial x}

وبالعكس

x=\pm\tfrac{\partial g}{\partial u}.

ويمكن كتابة معادلات قبل وبعد التحويل كالآتي:

g(u)=\pm\left[u\, x(u)-f(x(u))\right]\ ,\quad f(x)=x\, u(x)\mp g(u(x))

استنباطه[عدل]

الغرض من تحويل ليجاندر هو تغيير اعتماد دالة  f(x)  على المتغير x إلى اعتمادها على متغير آخر u حيث :

u=\frac{\partial f}{\partial x}

فعندما نصيغ الدالة f(x) المعتمدة على x

\mathrm{d}f=\frac{\partial f}{\partial x}\,\mathrm{d}x=u\,\mathrm{d}x,

يصبح الدالة g(u) أيضا معتمدة على المتغير u .

\mathrm{d}g=\pm x\,\mathrm{d}u

وعندما نقوم بمعلية التفاضل الكلي ل (\pm ux) نحصل على:

\mathrm{d}(\pm ux)=\pm(x\,\mathrm{d}u+u\,\mathrm{d}x).

وبالمقارنة ب \mathrm{d}f و \mathrm{d}g

نحصل على :

\mathrm{d}(\pm ux)=\mathrm{d}g \pm u\,\mathrm{d}x = \mathrm{d}g \pm \mathrm{d}f.

أي أن :

\mathrm{d}g=\mathrm{d}(\mp f\pm ux),

وبعد إجراء التكامل نحصل على:

g(u)=\pm(-f(x(u))+ux(u)).

وتسمى الدالة g(u) دالة ليجاندر المحولة من الدالة f . ولا أهمية لإشارة الدالة g

لذلك يمكننا كتابة

g = ux - f oder g = f - ux

ويعتمد اختيار الإشارة على المعني الفيزيائي للدالة g .

معناه الهندسي[عدل]

سنوضح تحويل ليجاندر بواسطة الرسم المرسوم أعلاه : يمكن رسم المنحنى الأحمر عن طريق استبدال كل نقاطه بتحويلات ليجاندر التي تعطينا عددا كبيرا من المماسات التي تحيط وتمس المنحنى الأحمر. وهذا ما تقوم به تحيلات ليجاندر . فالدالة الناتجة g(u) ترتب ميل الممسات u لكل نقطة بحسب تقاطع خط التماس مع المحور Y . إذاّ فتلك الممسات تصف المنحني وصفا كاملا - ولكن باستخدام إحداثية أخرى ، وهي u بدلا من x.

في حالة عدة متغيرات[عدل]

يتغير اعتماد دالة f(x,y) تعتمد على المتغير x إلى متغير آخر u عن طريق التفاضل الجزئي للدالة f بالنسبة إلى x كالآتي:

u = \frac{\partial f}{\partial x}.

ويمثل فيها u(x,y) الميل الهندسي في الاتجاه x من الدالة f(x,y) .

ذلك نتحدث عن تحويل ليجااندر بأنه "تحويل مماسات " . وتسمى الدالة F(u,y)

"دالة ليجراند المحولة" .

ويمكننا استنباط دالة ليجراند المحولة كالآتي: يمكن كتابة الدالة f(x,y) على الصورة :

f(x,y) \approx f(x_0,y)+\frac{\partial f} {\partial x} \Delta x,\; \Delta x = x-x_0

وإذا عرّفنا f(x_0,y) \equiv F(u,y), حصلنا على دالة ليجراند المحولة :

F(u,y) = f(x,y)-\frac{\partial f}{\partial x} \Delta x.

في أغلب أحوال توضع x_0 = 0 ونحصل على :

F(u,y) = f(x,y)-\frac{\partial f}{\partial x} x.

بالنسبة إلى التعريف الأخير يكون الجزء y لنقطة المماس على f(x,y) مع اتخاذ المستوي x=0 هي دالة ليجراند المحولة . وتوصف الدالات في ذلك المستوي بأنها "مقطع المحور" .

أي ينشأ تبديل المتغيرات من خلال طرح حاصل ضرب الإحداثيات الأولية و الجديدة u x من الدالة الأصلية :

F(u,y) = f(x,y) - u x.

ويبدو ذلك واضحا عند مشاهدة إلى التفاضل الكلي لدالة ليجاندر المحولة :

\mathrm{d}(f(x,y) - u x) = \mathrm{d}f(x,y) - x\,\mathrm{d}u - u\,\mathrm{d}x =  \frac{\partial f} {\partial x} \mathrm{d}x + \frac{\partial f} {\partial y} \mathrm{d}y - x \mathrm{d}u - u \mathrm{d}x = \frac{\partial f} {\partial y} \mathrm{d}y - x\,\mathrm{d}u = \mathrm{d}F(u,y).

تطبيقاته[عدل]

يطبق تحويل ليجاندر في الفيزياء في مسائل الترموديناميكا الإحصائية ، مثل تحويل معادلات الانتقال بين الجهود الترموديناميكية تحت طروف معينة وكذلك عند الانتقال من دالة ليجاندر إلى ميكانيك هاميلتون أو إلى ميكانيك لاغرانج .

وفي علم الحركة الحرارية نستخدمها مع اختيار الإشارة السفلى ، أي بوضع (g=f-ux).

ويقوم تحويل ليجاندر - وكذلك تحويل نقاط الممسات بصفة عامة - بوظية هامة ي الميكانيكا و حساب التغيرات وفي نظرية المعادلات التفاضلية من الدرجة الأولى . وعند استخدام دالة ليجراندر المحولة في الميكانيكا نستخدم الإشارة العليا في المعادلة (g=ux-f) طبقا للمتفق عليه.

مثـال دالة هاميلتون[عدل]

في الميكانيكا نستنبط معادلة هاميلتون من معادلة لاغرانج عن طريق استخدام تحويل ليجاندر:

H(q,p)=p\,\dot{q}(q,p)-L(q,\dot{q}(q,p))\quad\text{with}\quad p=\frac{\partial L}{\partial\dot{q}}

وفي الترموديناميكا يمكننا عن طريق تحويل ليجاندر استنباط الجهد الترمويناميكي من المعادلات الأساسية للترموديناميكا. عندئذ يمكن الانتقال من الطاقة الداخلية U (وهي تعتمد على الإنتروبيا) S إلى طاقة هيلمهولتز F التي تعتمد على درجة الحرارة T:

F(T,V,N) = U(S,V,N) - \left(\frac{\partial U}{\partial S}\right)_{V,N} \cdot S = U - T S

وهنا يختص تفاضل المعادلة (U(S,V,N بانسبة لإنتروبيا S, حيث نضع كلا من V و N كثوابت .

بالمثل نستخدمها عند دراسة جهد ترموديناميكي و تحوله إلى جهد آخر ، مثلما يحدث عند الانتقال من الإنثالبي H إلى طاقة جيبس G:

G(T,p,N) = H(S,p,N) - \left(\frac{\partial H}{\partial S}\right)_{p,N} \cdot S = (U + p V) - T S

وبالمثل نستطيع الحصول على جهود ترموديناميكية أخرى أننا عن طريق تحويل ليجاندر نستطيع الانتقال إلى إحداثيات معممة والتي عن طريقها يمكننا استبدالها بالقوة الترموديناميكية المقترنة.

أمثلة الدالة الأسية[عدل]

رسم الرسم البياني للدالة ex بخط أحمر ، ورسمت دالة تحويل ليجاندر لها بنقاط زرقاء .

الدالة الأسية ex

لها دالة تحويل ليجاندر  x ln x − x&nbsp حيث أن مشتقاتها الأولى ex و  ln x معكوسة بالنسبة لبعضها . وهذا يبين أن ليس من الضروري أن يتفق الحيزين الرياضييين للدالتين مع بعضهما .

كذلك بالنسبة إلى الدالة التربيعية :

 f(x) = \begin{matrix} \frac{1}{2} \end{matrix} \, x^T \, A \, x

حيث A مصفوف متناظر غير متغير (مصفوف n-في-n) ودالة تحويل ليجاندر له هي:

 f^\star(y) = \begin{matrix} \frac{1}{2} \end{matrix} \, y^T \, A^{-1} \, y

انظر أيضا[عدل]