تعامد

من ويكيبيديا، الموسوعة الحرة
اذهب إلى: تصفح، ‏ ابحث
شكل 1: الخط AB عمودي على الخط CD، لأن كلا الزاويتين التان يشكلهما (اللونين البرتقالي والأزرق) تساوي 90 درجة

في الهندسة الرياضية، يعتبر خطان أو مستويان (أو خط ومستوى) متعامدين (بالإنجليزية: perpendicular) على بعضهما إذا شكلا زوايا متجاورة متطابقة (على شكل حرف T). ففي الشكل 1، القطعة المستقيمة AB متعامدة على القطعة المستقيمة CD في النقطة B، ويعبر عن تعامد المستقيمين AB وCD بعبارة: AB \perp CD [1].

جميع الزوايا المكونة من تعامد خطين مستقيمين هي زوايا قائمة (قياس الزاوية القائمة يساوي ½ π راديان، أو 90° درجة). وبالعكس فإن أي خطين مستقيمين يشكلان زوايا قائمة فهما متعامدان [1].

المعايير الرياضية[عدل]

في النظام الإحداثي الديكارتي يمكن وصف خطين مستقيمين ل1 ول2 بالمعادلتين التاليتين:

ل1: y = a×x + b

ل2: y = c×x + d

طالما أن كلاً من الخطين المستقيمين غير رأسي، فإن ميل ل1 هو a وميل ل2 هو c. ويكون الخطان المستقيمان ل1 ول2 متعامدين إذا كان حاصل ضرب ميليهما يساوي -1، أي a × c = -1 [2].

وفي الهندسة التحليلية، يكون المتجهان متعامدين إذا كان: ميل الأول × ميل الثاني = -1

إنشاء العمودي[عدل]

شكل 2: طريقة إسقاط عمودي (الأزرق) على المستقيم AB من النقطة P

إنشاء عمودي على مستقيم من نقطة خارجه[عدل]

لإسقاط عمودي على المستقيم AB يمر بالنقطة P باستخدام الفرجار والمسطرة نقوم بالخطوات التالية (انظر شكل 2):

  • (الأحمر): ارسم دائرة مركزها النقطة P لتقطع الخط المستقيم AB في A' وB'، فتكونان متساويتا البعد عن P,
  • (الأخضر): ارسم دائرتين مركزهما النقطتان A' وB' وتمران بالنقطة P. نفترض أن النقطة الأخرى لتقاطعهما هي Q
  • (الأزرق): صل النقطتين P وQ لتحصل على العمودي المطلوب PQ
شكل 3: إنشاء عمودي على مستقيم من نقطة عليه (B) - خطوة 1

إنشاء عمودي على مستقيم من نقطة عليه[عدل]

لإنشاء عمودي على خط مستقيم من نقطة عليه نقوم بالخطوات التالية [3]:

  • ارسم دائرة مركزها هذه النقطة (B مثلاً) وتقطع الخط المستقيم في نقطتين A و A' (انظر شكل 3)
  • من النقطتين A و A' نرسم دائرتين لهما نفس نصف القطر ونصف قطرهما أكبر من المسافة AB
  • نصل نقطتي تقاطع هاتين الدائرتين لنحصل على العمودي المطلوب
شكل 4: طريقة رسم قاطع عمودي على خط مستقيم

إنشاء عمودي على مستقيم في أي موضع منه[عدل]

لإنشاء عمودي على خط مستقيم في أي موضع منه نقوم بالخطوات التالية (انظر شكل 4):

  • (الأزرق): من أي نقطتين على الخط المستقيم نرسم دائرتين متقاطعتين
  • (الأحمر): نصل بين نقطتي تقاطع الدائرتين فنحصل على العمودي المطلوب
شكل 5: الخطان a و b متوازيان ويقطعهما القاطع c

بالنسبة للخطوط المتوازية[عدل]

كما هو موضح في شكل 5، إذا كان كل من خطين مستقيمين (a و b) متعامدا على خط ثالث (c)، فإن كل الزوايا الناتجة عن التقاطع مع هذا الخط الثالث تكون زوايا قائمة. وبناء على ذلك، فإنه في الهندسة الإقليدية، أي خطين مستقيمين كل منهما عمودي على خط ثالث فهما متوازيان، بناءً على مسلمة التوازي. وبالعكس، فإن أي خط مستقيم عمودي على خطً مستقيمٍ ثانٍ، فإنه يكون عمودياً على أي خط مستقيم موازٍ له.

في شكل 4، كل الزوايا المظللة بالبرتقالي هي زوايا متطابقة، لأن الزوايا المتقابلة بالرأس متطابقة وكذلك الزوايا الداخلية المتبادلة الناشئة عن قاطع لخطين متوازيين هي متطابقة. ومن ثم، فإنه إذا كان خطان a و b متوازيين فإن أياً من النتائج التالية تؤدي للنتائج الأخرى كلها:

  • إحدى زوايا الشكل هي زاوية قائمة
  • إحدى الزوايا المظللة باللون البرتقالي مطابقة لإحدى الزوايا المظللة باللون الأخضر
  • الخط المستقيم c عمودي على الخط المستقيم a
  • الخط المستقيم c عمودي على الخط المستقيم b

إيجاد المتعامدات على دالة[عدل]

في الجبر[عدل]

في الجبر، لأي معادلة خطية (y = m × x + b)، فإن ميل المتعامدات عليها هو (-1/mالمعكوس الجمعي لمقلوب ميل المعادلة الأصلية.

ولإيجاد العمودي على خط مستقيم (y = m × x + b) ويمر أيضاً بالنقطة (x، y) نحل المعادلة y = (-1/m) × x + b، بتعويض قيم m وَ x وَ y المعلومة لإيجاد قيمة b في معادلة الخط المطلوب.

في التفاضل[عدل]

في التفاضل، لإيجاد العمودي على دالة نحسب مشتقة هذه الدالة، فيكون هذا هو ميله (m) عند أي نقطة (x، y). فنقوم بحل المعادلة y = (-1/m) × x + b، بتعويض قيم m وَ x وَ y المعلومة لإيجاد قيمة b في معادلة الخط المطلوب.

رمز التعامد[عدل]

رمز التعامد هو \perp. فمثلاً AB \perp CD تعني أن الخط المستقيم AB عمودي على الخط المستقيم CD، وتقرأ: AB عمودي على CD. الكود الخاص بهذا الرمز في مجموعة حروف يونيكود هو U+27C2 وهو ضمن الرموز الرياضية المتنوعة-المجموعة أ (بالإنجليزية: Miscellaneous Mathematical Symbols-A range)، وهو شبيه برمز التاك المقلوبة (U+22A5) لكنه حرف مختلف.


انظر أيضاً[عدل]

مراجع[عدل]

  1. ^ أ ب تعريف العمودي (بالإنجليزية). Math open Reference (مرجع الرياضيات المفتوح) . وصل لهذا المسار في ۲۱ نوفمبر ۲۰۱۱.
  2. ^ الخطوط المتعامدة (الهندسة الإقليدية) (بالإنجليزية). Math open Reference (مرجع الرياضيات المفتوح) . وصل لهذا المسار في ۲۱ نوفمبر ۲۰۱۱.
  3. ^ طريقة إنشاء عمودي على خط مستقيم من نقطة عليه (بالإنجليزية). Math open Reference (مرجع الرياضيات المفتوح) . وصل لهذا المسار في ۲۱ نوفمبر ۲۰۱۱.

وصلات خارجية[عدل]