تقريب خطي

خط مماس في (a, f(a))

في الرياضيات، التقريب الخطي هو تقريب لتابع عام باستخدام تابع خطي (بشكل أدق: تابع متصل). تستخدم بشكل واسع في طريقة الفروقات المحدودة لإيجاد طرائق لحل أو تقريب الحلول للمعادلات.

التعريف

بإعطائها تابعاً قابلاً للاختلاف f لأحد المتحولات الحقيقية، نظرية تايلور توضح أنه:

$f(x) = f(a) + f'(a)(x - a) + R_2\$

بحيث أن $R_2$ هو الطرف المتبقي. يتم الحصول على التقريب الخطي بإسقاط الباقي:

$f(x) \approx f(a) + f'(a)(x - a).$

هذا تقريب جيد من أجل x قريبة من a. التعبير على الطرف الأيمن هو معادلة الخط المماس للخط البياني f في (a,f(a))، ولهذا السبب، تدعى هذه العملية بـتقريب خط المماس

التقريبات الخطية من أجل التوابع الشعاعية للمتحولات المتجهة يتم الحصول عليها بذات الطريقة، مع استبدال المشتقات عند نقطة بمصفوفة جاكوبي. على سبيل المثال، لدينا تابع قابل للاختلاف $f(x, y)$ بقيم حقيقية، يمكن للمرء تقريب $f(x, y)$ من أجل النقطة $(x, y)$ القريبة من $(a, b)$ باستخدام المعادلة:

$f\left(x,y\right)\approx f\left(a,b\right)+\frac{\partial f}{\partial x}\left(a,b\right)\left(x-a\right)+\frac{\partial f}{\partial y}\left(a,b\right)\left(y-b\right).$

الطرف الأيمن هو معادلة المستوي المماس للخط البياني في $z=f(x, y)$ عند النقطة $(a, b)$.

في حالة فضاءات باناخ الأكثر عمومية، يكون لدينا

$f(x) \approx f(a) + Df(a)(x - a)$

بحيث أن $Df(a)$ هو مشتق Fréchet لـ $f$ عند $a$.

لإيجاد تقريب $\sqrt[3]{25}$ يمكن للمرء القيام بالتالي:

1. خذ التابع $f(x)= x^{1/3}.\,$ بعين الاعتبار. هكذا، تكون المشكلة اختصرت إلى إيجاد قيمة $f(25)$.
2. لدينا

   $f'(x)=\frac{x^{-2/3}}{3}=\frac{1}{3\sqrt[3]{x^2}}$

3. حسب التقريب الخطي

   $f(25) \approx f(27) + f\ '(27)(25 - 27) = 3 - 2/27.$

4. النتيجة، 2.926, قريبة بشكل معقول من القيمة الحقيقية 2.924…

إنظر أيضاً

• توسع تايلور
• تسلسل القوى

التطبيقات

• طريقة يولر
• الفروقات المحدودة
• طرائق الفرق المحدود
• طريقة نيوتن

المراجع

• ويكيبيديا الإنكليزية
• Weinstein, Alan; Marsden, Jerrold E. (1984). Calculus III. Berlin: Springer-Verlag. ص. 775. ISBN 0-387-90985-0.
• Strang, Gilbert (1991). Calculus. Wellesley College. ص. 94. ISBN 0-9614088-2-0.
• Bock, David; Hockett, Shirley O. (2005). How to Prepare for the AP Calculus. Hauppauge, NY: Barrons Educational Series. ص. 118. ISBN 0-7641-2382-3.