تكامل

من ويكيبيديا، الموسوعة الحرة

مثال لحساب تكامل دالة (المساحة الرمادية)

في علم الرياضيات، تعتبر مكاملة الدالة نوعاً من التعميم لكميات قابلة للتجزئة مثل :المساحة أو الحجم أو الكتلة أو أي مجموع لعناصر متناهية في الصغر.
وأيضاً يمكن أن نقول ان عملة التكامل هي عملية عكسية اعملية التفاضل. بالرغم من تعدد التعاريف المستخدمة للتكامل وتعدد طرق استخدامه فإن نتيجة هذه الطرق جميعها متشابهة وجميع التعاريف تؤدي في النهاية إلى المعنى ذاته. يمكن اعتبار تكامل دالة حقيقية مستمرة ذات قيم موجبة لمتغير حقيقي بين قيمة حدية دنيا و قيمة حدية عليا هي المساحة المحصورة بين المستقيمين الرأسيين : x=a, x=b و المحور x و المنحني المحدد بالدالة ، يمكن صياغة ذلك بشكل رياضي:

$S= \{(x,y) \in \mathbb{R}_+^2:a \leq x \leq b \land 0 \leq y \leq f(x)\},$

ويرمز لهذه العملية حسب اصطلاح لورينتز :

$\int_a^b f(x)\,dx$ .

النقطة الأساسية في التكامل تأتي من المبرهنة الأساسية في التكامل و التي تنص على أن مشتق تابع المساحة تحت منحني الدالة هو الدالة نفسها . بالتالي إذا عرفنا دالة تربط القيمة x يقيمة المساحة المحدودة بين منحني الدالة $f (x)$ و محور السينات و من الجهة الخرى محدودة بمحور العينات و المستقيم X=x ، تدعى هذه الدالة ب دالة المساحة و مشتقها هو الدالة $f (x)$ نفسها ، لذلك ندعو تابع المساحة عكس الاشتقاق أو التابع الأصلي للدالة $f (x)$ .

يقوم حساب التكامل على إيجاد التابع الأصلي للدالة التي نريد القيام بمكاملتها .

وقد عرض جوتفريد لايبنتز، في 13 نوفمبر 1675، أول عملية تكامل لحساب المساحة تحت منحنى الدالة ص = د(س).

يوجد عدة أنواع للتكامل منها: التكامل بالتجزئ ، التكامل بالتعويض ، التحويل إلى الكسور الجزئية ، الاختزال المتتالى