تكامل غاوسي

من ويكيبيديا، الموسوعة الحرة
اذهب إلى: تصفح، ‏ ابحث

التكامل الغاوسي (بالإنجليزية: Gaussian integral)(يعرف أيضا بتكامل أويلر-بواسون أو تكامل بواسون[1] أو تكامل الاحتمالية) هو تكامل الدالة الغاوسية ex2 على خط الأعداد الحقيقية الداخلي. أطلقت التسمية على اسم عالم الرياضيات والفيزياء كارل فريدريك غاوس. يعطى التكامل بالعلاقة:

\int_{-\infty}^\infty e^{-x^2}\,dx = \sqrt{\pi}.

لهذا التكامل العديد من التطبيقات. عند توحيده بحيث تصبح قيمته هي  1، يصبح دالة الكثافة للتوزيع الطبيعي (انظر أيضاً دالة الخطأ). إنها دالة ذاتية من تحويل فوريية المستمر.

بالرغم من عدم وجود دالة أساسية لدالة الخطأ، كما يمكن إثباته من خواريزم ريسك، يمكن حل التكامل الغاوسي بالتحليل بواسطة أدوات التفاضل والتكامل. بمعنى آخر، لا يوجد اشتقاق عكسي أساسي للدالة \scriptstyle\int e^{-x^2}\,dxولكن يمكن حل التكامل المحدود \scriptstyle\int_{-\infty}^\infty e^{-x^2}\,dx.

أحيانا يكون الأس ليس على الصورة المربعة، وعندها يمكن استخدام إكمال المربع لتحويل الأس إلى الصورة المربعة التي ينطبق عليها حالة تكامل غاوس.

الحساب[عدل]

بالإحداثيات القطبية[عدل]

أحد الطرق القياسية لحساب التكامل الغاوسي هي

\left(\int e^{-x^2}\,dx\right)^2;

بمقارنة الحسابين السابقين نحصل على التكامل، ولكن ينبغي أخذ الحذر بشأن التكاملات الخاطئة التي يمكن أن تحدث.

إثبات وجيز[عدل]

بإيجاز، باستعمال الطريقة السابقة، يمكن للمرء من جهة حساب أن،

\begin{align}
\int_{\mathbf{R}^2} e^{-(x^2+y^2)}\,dA
 &= \int_{-\infty}^\infty \int_{-\infty}^\infty e^{-(x^2+y^2)}\,dx\,dy\\
 &= \left (\int_{-\infty}^\infty e^{-x^2}\,dx \right) \cdot \left (\int_{-\infty}^\infty e^{-y^2}\,dy \right)\\
 &= \left (\int_{-\infty}^\infty e^{-x^2}\,dx \right)^2
\end{align}

ومن جهة أخرى

\begin{align}
\int_{\mathbf{R}^2} e^{-(x^2+y^2)}\,dA
&= \int_0^{2\pi} \int_0^{\infin} e^{-r^2}r\,dr\,d\theta\\
&= 2\pi \int_0^\infty re^{-r^2}\,dr\\
&= 2\pi \int_{-\infty}^0 \frac{1}{2} e^s\,ds
= \pi \int_{-\infty}^0 e^s\,ds
= \pi (e^0 - e^{-\infty}) \\
& = \pi (1 - 0) = \pi,
\end{align}

حيث أن معامل r يأتي من الانتقال إلى الإحداثيات القطبية (r dr  هي المقياس العياري في المستوى، معبراً عنه بالإحداثيات القطبية)، وبالتعويض نأخذ s = −r2, so ds = −2r dr.

بدمج هذه نحصل على

\left (\int_{-\infty}^\infty e^{-x^2}\,dx \right)^2=\pi,

وعليه

\int_{-\infty}^\infty e^{-x^2}\,dx=\sqrt{\pi}.

إثبات حريص[عدل]

للتأكد من التكاملات الثنائية الخاطئة ومساواة التعبيرين، يمكننا البدء بدالة تقريبية:

I(a)=\int_{-a}^a e^{-x^2}dx.

حتى نعمل التكامل بالعلاقة

\lim_{a\to\infty} I(a) = \int_{-\infty}^{\infty} e^{-x^2}\, dx,

بما أن

\int_{-\infty}^\infty e^{-x^2}\, dx < \int_{-\infty}^{-1} -x e^{-x^2}\, dx + \int_{-1}^1 e^{-x^2}\, dx+ \int_{1}^{\infty} x e^{-x^2}\, dx<\infty.

بأخذ الجذر التربيعي لـ I(a) نحصل على


\begin{align}
I(a)^2 & = \left (\int_{-a}^a e^{-x^2}\, dx \right)\cdot \left (\int_{-a}^a e^{-y^2}\, dy \right) \\
& = \int_{-a}^a \left (\int_{-a}^a e^{-y^2}\, dy \right)\,e^{-x^2}\, dx \\
&  = \int_{-a}^a \int_{-a}^a e^{-(x^2+y^2)}\,dx\,dy.
\end{align}

باستعمال مبرهنة فورييه، ميكن بيان أن التكامل الثنائي السابق يكافئ تكامل مساحة

\int e^{-(x^2+y^2)}\,d(x,y),

تم أخذها على مربع ررؤوسه {(−aa), (aa), (a, −a), (−a, −a)} في المستوى xy.

لما كانت الدالة الأسية أكبر من 0 لجميع الأعداد الحقيقية، فإننا نستنتج من ذلك أن التكامل المأخوذ على دائرة المربع ينبغي أن يكون أقل من I(a)^2\,، وكذلك التكامل المأخوذ على دائرة محيط المربع يجب أن يكون أكبر من I(a)^2\,. التكاملات على القرصينيمكن حسابها بسهولة وذلك بالانتقال من الإحداثيات الكارتيزية إلى القطبية:


\begin{align}
x & = r \cos \theta \\
y & = r \sin\theta \\
d(x,y) & = r\, d(r,\theta).
\end{align}
\int_0^{2\pi}\int_0^a re^{-r^2}\,dr\,d\theta < I^2(a) < \int_0^{2\pi}\int_0^{a\sqrt{2}} re^{-r^2}\,dr\,d\theta.

بالتكامل،

 \pi (1-e^{-a^2}) <  I^2(a) < \pi (1 - e^{-2a^2}).

من مبرهنة العصر، نحصل على التكامل الغاوسي

\int_{-\infty}^\infty e^{-x^2}\, dx = \sqrt{\pi}.

بالإحداثيات الكارتيزية[عدل]

كتب جورغاكيس[2] بأن "طريقة أفضل بديلة للطريقة المعتادة المستعملة للتخفيض إلى الإحداثيات القطبية".

لتكن


\begin{align}
y & = xs \\
dy & = x\,ds.
\end{align}

بما أن النهيات على s عندما تقتربy من \pm\infty تعتمد على إشارة x، فإنها تبسط الحساب لاستعمال الحقيقة القائلة بأن e^{-x^2} هي دالة زوجية، وأنه لذلك، يكون التكامل على جميع الأعداد الحقيقية عبارة عن ضعف التكامل من صفر إلى مالاهناية. أي أنه \int_{-\infty}^{\infty} e^{-x^2}\,dx = 2\int_{0}^{\infty} e^{-x^2}\,dx. بالتالي بالتكامل المربع x\ge 0، والمتغيرات y وs لها نفس النهايات. نحصل على:

 I^2 = 4 \int_0^\infty \int_0^\infty e^{-(x^2 + y^2)} dy\,dx.

بالتالي


\begin{align}
\frac{I^2}{4} & = \int_0^\infty \left(\int_0^\infty e^{-(x^2 + y^2)} \, dy \right) \, dx = \int_0^\infty \left(\int_0^\infty e^{-x^2(1+s^2)} x\,ds \right) dx \\[5pt]
& = \int_0^\infty \left(\int_0^\infty e^{-x^2(1 + s^2)} x \, dx \right) \, ds \\[5pt]
& = \int_0^\infty \left[ \frac{1}{-2(1+s^2)} e^{-x^2(1+s^2)} \right]_0^\infty \, ds
= \frac{1}{2} \int_0^\infty \frac{ds}{1+s^2} \\[5pt]
& = \frac{1}{2} \left. \arctan s \frac{}{} \right|_0^\infty = \frac{\pi}{4}.
\end{align}

أخيراً،  I = \sqrt\piكما كان متوقعا.

علاقته بدلالة غاما[عدل]

التكامل عبارة عن دالة زوجية،

\int_{-\infty}^{\infty} e^{-x^2} dx = 2 \int_0^\infty e^{-x^2} dx

لذا، بعد تبديل المتغيرات x=\sqrt{t}، يتحول هذا إلى تكامل أويلر

\int_0^\infty e^{-t} \ t^{-1/2} dt \, = \, \Gamma\left(\frac{1}{2}\right)

حيث Γ هي دالة غاما. وهذا يفسر سبب أن مضورب نصف عدد صحيح هو عدد نسبيمن مضاعفات \sqrt \pi. بتعميم أكثر،

\int_0^\infty e^{-ax^b} dx = a^{-1/b} \, \Gamma\left(1+\frac{1}{b}\right).

تعميمات[عدل]

تكامل الدالة الغاوسية[عدل]

يكون تكامل دالة اعتباطية غاوسية هو

\int_{-\infty}^{\infty} a e^{-(x+b)^2/c^2}\,dx=a c \sqrt{\pi}.

وله صورة بديلة هي

\int_{-\infty}^{\infty}a\,e^{-b x^2 + c x + f}\,dx=a\,\sqrt{\frac{\pi}{b}}\,\exp\left(c^2/4b + f\right),

التعميم الدالي والنوني البعد[عدل]

بفرض أن A هي مصفوفة تباين invertible معرفة-موجبا متماثلة (أي قابلة للعكس) n×n. بالتالي،


\quad \int_{-\infty}^\infty \exp\left(- \frac 1 2 \sum_{i,j=1}^{n}A_{ij} x_i x_j \right) \, d^nx
=
\sqrt{\frac{(2\pi)^n}{\det A}}

يفهم التكامل على أنه علىRn. يفاد من هذه الحقيقة في دراسة التوزيع الطبيعي متعدد التباين.

كذلك،


\begin{align}
& {} \quad \int x^{k_1}\cdots x^{k_{2N}} \, \exp\left(- \frac 1 2 \sum_{i,j=1}^{n}A_{ij} x_i x_j \right) \, d^nx \\
& =
\sqrt{\frac{(2\pi)^n}{\det A}} \, \frac{1}{2^N N!} \, \sum_{\sigma \in S_{2N}}(A^{-1})^{k_{\sigma(1)}k_{\sigma(2)}} \cdots (A^{-1})^{k_{\sigma(2N-1)}k_{\sigma(2N)}}
\end{align}

حيث σ هي تباديل {1,..., 2N} والعامل الإضافي في الطرف الأيمن هو المجموع لجميع أزواج التوافيق {1,..., 2N} لنسخN من A−1.

بالمثل،


\int f(\vec x) \, \exp\left(- \frac 1 2 \sum_{i,j=1}^{n}A_{ij} x_i x_j \right) d^nx
=
\sqrt{(2\pi)^n\over \det A} \, \left. \exp\left({1\over 2}\sum_{i,j=1}^{n}(A^{-1})_{ij}{\partial \over \partial x_i}{\partial \over \partial x_j}\right)f(\vec{x})\right|_{\vec{x}=0}

لأجل دالة تحليلية f، إذا علم أنها تحقق بعض الروابط السليمة لنموها وبعض معايير أخرى. (هذا ينجح مع بعض الدوال ويفشل مع البعض الآخر. الأمر ناجح مع كثيرات الحدود.) يفهم الأس على عامل تفاضلي بأنه متسلسلة قوى.

بما أن التكاملات الدالية ليس لها تعريفات صارمة (أو حتى عددية غير صارمة غالبا)يمكننا تعريف تكامل غاوسي داليبشكل مشابه للحالة البعدية المحدودة. لا زالت هناك مشكلة، مع أن، (2\pi)^\infty هو لانهائي، أيضا المحدد الدالي سيكون لانهائياً أيضاً عموماً. ينبغي أخذ الحيطة هنا إذا اعتبرنا فقط النسب:

\frac{\int f(x_1)\cdots f(x_{2N}) e^{-\iint \frac{A(x_{2N+1},x_{2N+2}) f(x_{2N+1}) f(x_{2N+2})}{2} d^dx_{2N+1} d^dx_{2N+2}} \mathcal{D}f}{\int e^{-\iint \frac{A(x_{2N+1},x_{2N+2}) f(x_{2N+1}) f(x_{2N+2})}{2} d^dx_{2N+1} d^dx_{2N+2}} \mathcal{D}f},
=\frac{1}{2^N N!}\sum_{\sigma \in S_{2N}}A^{-1}(x_{\sigma(1)},x_{\sigma(2)})\cdots A^{-1}(x_{\sigma(2N-1)},x_{\sigma(2N)}).

في علامة دويت، تبدو المعادلة مطابقة للحالة البعدية المحدودة.

بُعد نوني بحد خطي[عدل]

إذا كانت A مرة أخرى، مصفوفة متماثلة معرفة موجباً، فإن

\int e^{-\frac{1}{2}\sum_{i,j=1}^{n}A_{ij} x_i x_j+\sum_{i=1}^{n}B_i x_i} d^nx=\sqrt{ \frac{(2\pi)^n}{\det{A}} }e^{\frac{1}{2}\vec{B}^{T}A^{-1}\vec{B}}.

تكاملات شبيهه[عدل]

\begin{align}
\int_0^\infty x^{2n}  e^{-x^2/a^2}\,dx
  &= \sqrt{\pi} \frac{(2n-1)!!}{2^{n+1}} a^{2n+1} =\sqrt{\pi}\frac{\left(2n\right)!}{n!}\left(\frac{a}{2}\right)^{2n+1}\\
\int_0^\infty x^{2n+1}e^{-x^2/a^2}\,dx
  &= \frac{n!}{2} a^{2n+2}
\end{align}

كثيرات حدود عالية الرتبة[عدل]

يمكن حل قوى كثيرات حدود أخرى بسهولة وذلك باستعمال المتسلسلات. على سبيل المثال، تكامل كثيرة الحدود


\begin{align}
& \int_{-\infty}^{\infty} e^{a x^4+b x^3+c x^2+d x+f}\,dx \\
& {} \quad =
    \frac12
    e^f \!\!\!\!\!\!\!\!
    \sum_{\begin{smallmatrix}n,m,p=0 \\ n+p=0 \mod 2\end{smallmatrix}}^{\infty} \!\!\!\!
    \frac{b^n}{n!}
    \frac{c^m}{m!}
    \frac{d^p}{p!}
    \frac{\Gamma(\frac{3n+2m+p+1}4)}{(-a)^{\frac{3n+2m+p+1}4}}.
\end{align}

المتطلب n + p = 0 mod 2 هو بسبب أن التكامل من −∞ to 0 يصحبه عامل مقداره (−1)n+p/2 لكل حد، بينما التكامل من 0 to +∞ يصاحبه معامل 1/2 لكل حد.

هذه التكاملات أصبحت تبني مواضيع مثل نظرية الحقل الكمي.

مصادر[عدل]

  1. ^ Пуассона интеграл БСЭ
  2. ^ Constantine Georgakis, "A Note on the Gaussian Integral", Mathematics Magazine, February, 1994, page 47.
  • قالب:ماثورلد
  • David Griffiths. Introduction to Quantum Mechanics. 2nd Edition back cover.
  • Abramowitz, M. and Stegun, I. A. Handbook of Mathematical Functions, Dover Publications, Inc. New York

إنظر أيضا[عدل]

قالب:تكامل