تكامل مثلثي

رسم لتكامل جيب (x) (بالأزرق) و لتكامل جيب التمام (x) (بالأخضر) وضعت في نفس المخطط.

في الرياضيات, تكون التكاملات المثلثية (بالإنجليزية: trigonometric integrals) هي إحدى عائلات التكامل التي تطبق على الدوال المثلثية. هناك عدد من التكاملات المثلثية الرئيسية تمت مناقشتها في قائمة تكاملات الدوال المثلثية.

تكامل الجيب

رسم لتكامل جيب (x) عندما يكون 0 ≤ x ≤ 8π.

هناك تعريفين مختلفين لتكامل جيب و هما:

${\rm Si}(x) = \int_0^x\frac{\sin t}{t}\,dt$

${\rm si}(x) = -\int_x^\infty\frac{\sin t}{t}\,dt$

حيث ${\rm Si}(x)$ هو أصل $\sin x/x$ و التي تكون صفراً عندما $x=0$; و ${\rm si}(x)$ هو أصل $\sin x/x$ و التي تكون صفراً عندما $x=\infty$. يكون لدينا:

${\rm si}(x) = {\rm Si}(x) - \frac{\pi}{2}$

لاحظ بأن $\frac{\sin t}{t}$ هي دالة جيبية جوهرية sinc function و هي أيضاً دالة بيسيل الكروية الرقم صفر.

عندما يكون $x=\infty$, فأنه يُعرف بأسم تكامل ديريشلت.

في معالجة الإشارة, تسبب الاهتزازات الناتجة من التكامل الجيبي بعض التجاوزات و المصنوعات الرنينية ringing artifacts عند استعمال المرشح الجيبي الجوهري sinc filter، و تسبب رنين مجال التردد إذا تم استعمال مرشح جيبي جوهري منقوص مثل مرشح الترددات المنخفضة low-pass filter.

إن ظاهرة جيبس Gibbs phenomenon هي ظاهرة لها علاقة بهذا الموضوع: فعند اعتبار دالة الجيب الجوهرية مرشحاً للترددات المنخفضة, فأنها توازي النقص الحادث في سلسلة فورييه, مما يؤدي إلى ظاهرة جيبس.

تكامل جيب التمام

ملف:Cosine integral.svg

رسم لتكامل جيب التمام (x) عندما يكون 0 < x ≤ 8π.

هناك تعاريف مختلفة لتكامل جيب التمام و هي:

${\rm Ci}(x) = \gamma + \ln x + \int_0^x\frac{\cos t-1}{t}\,dt$

${\rm ci}(x) = -\int_x^\infty\frac{\cos t}{t}\,dt$

${\rm Cin}(x) = \int_0^x\frac{1-\cos t}{t}\,dt$

حيث ${\rm ci}(x)$ هو أصل $\cos x/x$ و التي تكون صفراً عندما $x=\infty$. يكون لدينا:

${\rm ci}(x)={\rm Ci}(x)\,$

${\rm Cin}(x)=\gamma+\ln x-{\rm Ci}(x)\,$

تكامل الجيب الزائدي

يكون تكامل الجيب الزائدي sine integral كالتالي:

${\rm Shi}(x) = \int_0^x\frac{\sinh t}{t}\,dt = {\rm shi}(x).$

تكامل جيب التمام الزائدي

يكون تكامل جيب التمام الزائدي hyperbolic cosine كالتالي:

${\rm Chi}(x) = \gamma+\ln x + \int_0^x\frac{\cosh t-1}{t}\,dt = {\rm chi}(x)$

حيث أن $\gamma$ هو ثابتة أويلر-ماسكيروني.

مجسم نيلسن اللولبي

حلزون نيلسين

يٌعرف المجسم اللولبي spiral التي تًشكلت بواسطة المخطط البارامتري لتكامل الجيب و جيب التمام بأسم مجسم نيلسن اللولبي Nielsen's spiral -و يسمى أيضاً حلزون نيلسن- . و يشار أيضاً إليها بأسم مجسم أويلر اللولبي أو مجسم كورنو اللولبي , أو الكلوثويد clothoid, أو بالانحناء الخطي لمجسم لولبي عديد الحدود. و بالإضافة إلى ذلك, للمجسمات اللولبية صلة وثيقة بتكاملات فريسنل. كما أن لدى المجسمات اللوبية العديد من التطبيقات في معالجة الرؤية و في بناء الطرق و المسارات و في أمور أخرى.

تفكيك

هناك العديد من طرق التفكيك يمكن استخامها لتقدير التكاملات المثلثية, و ذلك يعتمد على مدى المتغير.

سلسلة تقاربية (لمتغير كبير)

${\rm Si}(x)=\frac{\pi}{2} - \frac{\cos x}{x}\left(1-\frac{2!}{x^{2}}+...\right) - \frac{\sin x}{x}\left(\frac{1}{x}-\frac{3!}{x^{3}}+...\right)$

${\rm Ci}(x)= \frac{\sin x}{x}\left(1-\frac{2!}{x^{2}}+...\right) -\frac{\cos x}{x}\left(\frac{1}{x}-\frac{3!}{x^{3}}+...\right)$

هذه السلاسل متباعدة, على الرغم من أنه يمكن أن تُستعمل لتخمين أو حتى لأختيار القيم بشكل دقيق عندما يكون $~{\rm Re} (x) \gg 1~$.

متسلسلات التقارب

${\rm Si}(x)= \sum_{n=0}^{\infty}\frac{(-1)^{n}x^{2n+1}}{(2n+1)(2n+1)!}=x-\frac{x^3}{3!\cdot3}+\frac{x^5}{5!\cdot5}-\frac{x^7}{7! \cdot7}\pm\cdots$

${\rm Ci}(x)= \gamma+\ln x+\sum_{n=1}^{\infty}\frac{(-1)^{n}x^{2n}}{2n(2n)!}=\gamma+\ln x-\frac{x^2}{2!\cdot2}+\frac{x^4}{4! \cdot4}\mp\cdots$

هذه السلاسل متقاربة عند جميع قيم $~x~$ المعقدة, على الرغم من أنه إذا كان $|x|\gg 1$ يكون إيجاد القيم بطيئاً للغاية و مع ذلك فأنها ليست دقيقة, و ذلك في جميع الأحوال.

العلاقة مع التكامل الأسي للمتغير العقدي

تُسمى الدالة ${\rm E}_1(z) = \int_1^\infty \frac {\exp(-zt)} {t} {\rm d} t \qquad({\rm Re}(z) \ge 0)$ بالتكامل الأسي. لهذه الدالة علاقة وثيقة بتكاملات الجيب و جيب التمام:

${\rm E}_1( {\rm i}\!~ x)= i\left(-\frac{\pi}{2} +{\rm Si}(x)\right)-{\rm Ci}(x) = i~{\rm si}(x) - {\rm ci}(x) \qquad(x>0)$

بما أن كل دالة متضمنة في هذه المعادلة هي دالة تحليلية عدا المقطع التي يكون فيها قيم المتغير سالبة, ينبغي على مساحة صحة العلاقة أن تُوسع إلى ${\rm Re}(x)>0$. (من هذا المدى, يمكن أن تظهر الحدود التي تكون عبارة عن عوامل صحيحية للعدد $\pi$ في هذه العبارة الجبرية).

أنظر أيضاً

• تكامل أسي Exponential integral
• تكامل لوغريتمي Logarithmic integral

معالجة الإشارة

• ظاهرة جيبس Gibbs phenomenon
• مصنوعات رنينية Ringing artifacts

المراجع

• Milton Abramowitz and Irene A. Stegun, eds. Handbook of Mathematical Functions with Formulas, Graphs, and Mathematical Tables. New York: Dover, 1972. (See Chapter 5)
  • (Section 5.2, Sine and Cosine Integrals)