هذه المقالة يتيمة. ساعد بإضافة وصلة إليها في مقالة متعلقة بها

توافقات كروية

من ويكيبيديا، الموسوعة الحرة
اذهب إلى: تصفح، ‏ ابحث
التمثيلات البصرية للأعداد الأولى القليلة للتوافقات الكروية. تمثل الأجزاء الحمراء مناطق تكون فيها الوظائف إيجابية، أما الأجزاء الخضراء فتمثل المناطق التي تكون فيها الوظائف سلبية.

في علم الرياضيات، يشير مصطلح التوافقات الكروية إلى الجزء الذي يمثل زوايا مجموعة من حلول معادلة لابلاس. إن اتوافقات الكروية للابلاس والمتمثلة في نظام من الإحداثيات الكروية، Y_\ell^m عبارة عن مجموعة من التوافقات الكروية التي تشكل نظامًا متعامدًا، تم تقديمه لأول مرة بواسطة بيير سيمون دي لابلاس عام 1782.[1] تظهر أهمية التوافقات الكروية في الكثير من التطبيقات النظرية والعملية، بالأخص في حساب المدار الذري وتكوينات الإلكترون وتمثيل حقل الجاذبية والجيود والحقل المغناطيسي للكوكب والنجوم وخصائص خلفية الموجات شديدة القصر للكون. تلعب التوافقات الكروية دورًا هامًا في الرسومات ثلاثية الأبعاد بالكمبيوتر، ويتمثل ذلك في مجموعة واسعة من الموضوعات التي تتضمن الإضاءة غير المباشرة (الانسداد المحيطي والإضاءة الشاملة والنقل الإشعاعي سابق الحساب وما إلى ذلك) والتعرف على الأشكال ثلاثية الأبعاد.

معلومات تاريخية[عدل]

تم البحث في مجال التوافقات الكروية لأول مرة فيما يتعلق بالاحتمالية النيوتينية لقانون نيوتن للجاذبية العالمية في ثلاثة أبعاد. وفي عام 1782، حدد بيير سيمون لابلاس في كتابه Mécanique Céleste، أن احتمالية الجاذبية عند النقطة x مقترنة بمجموعة من كتل النقاط mi الموجودة عند النقطتين xi والتي تمثلت من خلال

V(\mathbf{x}) = \sum_i \frac{m_i}{|\mathbf{x}_i - \mathbf{x}|}.

ويعتبر كل مصطلح مذكور في التلخيص المذكور أعلاه عبارة عن احتمالية نيوتينية لكتلة نقطة. ولكن قبل هذا الوقت، بحث أدريان ماري ليجيندري في توسع الاحتمالية النيوتينية في القوى لـ r = |x| وr1 = |x1|. واكتشف أنه إذا كان rr1 إذاً

\frac{1}{|\mathbf{x}_1 - \mathbf{x}|} = P_0(\cos\gamma)\frac{1}{r_1} + P_1(\cos\gamma)\frac{r}{r_1^2} + P_2(\cos\gamma)\frac{r^2}{r_1^3}+\cdots

حيث γ هي الزاوية بين المتجهين x وx1. أما وظائف Pi فهي متعددات المخارج لليجيندري وهي حالة خاصة من حالات التوافقات الكروية. ولاحقًا في مذكراته عام 1782، بحث لابلاس هذه المعاملات باستخدام المنسقات الكروية لتمثيل الزاوية γ بين x1 وx. (انظر تطبيقات متعددات المخارج لليجيندري في الفيزياء للحصول على المزيد من التحليل المفصل.)

في عام 1867، قدم كل من ويليام طومسون(اللورد كيلفن) وبيتر جوثر تايت التوافقات الكروية الصلبة في بحثهم رسالة حول الفلسفة الطبيعية، كما قدموا أيضًا لأول مرة اسم "التوافقات الكروية" لهذه الوظائف. كانت التوافقات الكروية عبارة عن حلول متجانسة لمعادلة لابلاس

\frac{\partial^2 u}{\partial x^2} + \frac{\partial^2 u}{\partial y^2} + \frac{\partial^2 u}{\partial z^2} = 0.

ومن خلال فحص معادلة لابلاس في المنسقات الكروية، غطى كل من طومسون وتايت التوافقات الكروية للابلاس. وتم توظيف مصطلح "معاملات لابلاس" بواسطة ويليام ويل لوصف نظام الحلول المحدد المقدم بجانب هذه الخطوط، بينما احتفظ الآخرون بهذا التخصيص التوافقات الكروية النطاقية التي تم تقديمها بشكل مناسب بواسطة لابلاس وليجيندري.


انظر أيضًا[عدل]

  • التوافقات الكروية ذات الدوران الموزون
  • نظرية شتروم-ليوفيل
  • التوافقات الكروية الموجهة
  • جدول التوافقات الكروية
  • التوافقات الأسطوانية

ملاحظات[عدل]

  1. ^ A historical account of various approaches to spherical harmonics in three-dimensions can be found in Chapter IV of MacRobert 1967. The term "Laplace spherical harmonics" is in common use; see Courant & Hilbert 1962 and Meijer & Bauer 2004.

المراجع[عدل]

مراجع هامة
  • Courant، Richard (1962)، Methods of Mathematical Physics, Volume I، Wiley-Interscience .
  • Edmonds، A.R. (1957)، Angular Momentum in Quantum Mechanics، Princeton University Press، ISBN 0-691-07912-9. 
  • Eremenko، Alexandre؛ Jakobson، Dmitry؛ Nadirashvili، Nikolai (2007)، "On nodal sets and nodal domains on S^2 and \mathbb{R}^2Université de Grenoble. Annales de l'Institut Fourier 57 (7): 2345–2360، ISSN 0373-0956، MR2394544 
  • MacRobert، T.M. (1967)، Spherical harmonics: An elementary treatise on harmonic functions, with applications، Pergamon Press .
  • Meijer، Paul Herman Ernst؛ Bauer، Edmond (2004)، Group theory: The application to quantum mechanics، Dover، ISBN 978-0-486-43798-9 .
  • Stein، Elias (1971)، Introduction to Fourier Analysis on Euclidean Spaces، Princeton, N.J.: Princeton University Press، ISBN 978-0-691-08078-9 .
  • Unsöld، Albrecht (1927)، "Beiträge zur Quantenmechanik der Atome"، Annalen der Physik 387 (3): 355–393، Bibcode:1927AnP...387..355U، doi:10.1002/andp.19273870304 .
  • Watson، G. N.؛ Whittaker، E. T. (1927)، A Course of Modern Analysis، Cambridge University Press، صفحة 392 .

؛مراجع عامة