توزيع باريتو

توزيع باريتو

دالة الكثافة الاحتمالية دالة الكثافة الاحتمالية لتوزيع باريتو عندما xm=1
دالة التوزيع التراكمي دالة التوزيع التراكمي لتوزيع باريتو عندما xm=1
المؤشرات	$x_\mathrm{m}>0\,$ (حقيقي) $\alpha>0\,$ (حقيقي)
الدعم	$x \in [x_\mathrm{m}; +\infty)\!$
د۔ك۔ح۔	$\frac{\alpha\,x_\mathrm{m}^\alpha}{x^{\alpha+1}}\text{ for }x\ge x_m\!$
د۔ت۔ت	$1-\left(\frac{x_\mathrm{m}}{x}\right)^\alpha \!$
المتوسط الحسابي	$\frac{\alpha\,x_\mathrm{m}}{\alpha-1}\text{ for }\alpha>1\,$
الوسيط الحسابي	$x_\mathrm{m} \sqrt[\alpha]{2}$
المنوال	$x_\mathrm{m}\,$
التباين	$\frac{x_\mathrm{m}^2\alpha}{(\alpha-1)^2(\alpha-2)}\text{ for }\alpha>2\,$
التجانف	$\frac{2(1+\alpha)}{\alpha-3}\,\sqrt{\frac{\alpha-2}{\alpha}}\text{ for }\alpha>3\,$
التفرطح	$\frac{6(\alpha^3+\alpha^2-6\alpha-2)}{\alpha(\alpha-3)(\alpha-4)}\text{ for }\alpha>4\,$
الاعتلاج	$\ln\left(\frac{x_\mathrm{m}}{\alpha}\right) + \frac{1}{\alpha} + 1\!$
د۔م۔ع	$\alpha(-x_\mathrm{m}t)^\alpha\Gamma(-\alpha,-x_\mathrm{m}t)\text{ for }t<0\,$
الدالة المميزة	$\alpha(-ix_\mathrm{m}t)^\alpha\Gamma(-\alpha,-ix_\mathrm{m}t)\,$
معلومات فيشر	$\begin{pmatrix}\frac{\alpha}{x_m^2} & -\frac{1}{x_m} \\ -\frac{1}{x_m} & \frac{1}{\alpha^2}\end{pmatrix}$

في نظرية الاحتمالات والإحصاء، توزيع باريتو توزيع احتمالي مستمر سمي تيمنا باسم الاقتصادي الإيطالي فيلفريدو باريتو. ويسمى خارج الأوساط الاقتصادية باسم توزيع برادفورد.

الخواص

دالة الكثافة

يقال أن لمتغير لعشوائي ما أنه يتبع توزيع باريتو إذا كانت دالة كثافته تعطى بالشكل التالي:

$\Pr(X>x) = \begin{cases} \left(\frac{x_\mathrm{m}}{x}\right)^\alpha & \text{for }x\ge x_\mathrm{m}, \\ 1 & \text{for } x < x_\mathrm{m}. \end{cases}$

وهي تقيس احتمال أن يكون المتغير العشوائي X أكبر من قيمة معينة x. mx_m أقل قيمة يمكن أن يأخذها المتغير العشوائي X وهي بالضرورة قيمة موجبة.

دالة التوزيع

دالة التوزيع التراكمي لمتغير عشوائي يتبع توزيع باريتو ذا α وx_m تعطى بالشكل التالي:

$F_X(x) = \begin{cases} 1-\left(\frac{x_\mathrm{m}}{x}\right)^\alpha & \text{for } x \ge x_\mathrm{m}, \\ 0 & \text{for }x < x_\mathrm{m}. \end{cases}$

وبما أن x_m هي أقل قيمة ممكنة للمتغير العشوائي X. فإن احتمالية أن تكون قيمة المتغير العشوائي أقل x_m تساوي صفر كما هو مبين في الرسمة البيانية ودالة التوزيع.