توزيع بولتزمان

من ويكيبيديا، الموسوعة الحرة
اذهب إلى: تصفح، ‏ ابحث

في الفيزياء والرياضيات, توزيع بولتزمان هو دالة لاحتمالية توزيع نظام من الجسيمات على مستويات للطاقة. هي تدعم مبدأ مجموعة كانونيكال (canonical ensemble) على شرط أن تقع ضمن التوزيع. هناك حالة خاصة من توزيع بولتزمان وهي تـُستخدم لوصف توزيع سرعات الجسيمات في الغاز وتسمى توزيع ماكسويل-بولتزمان. في صياغات رياضية أكثر عموما يسمى توزيع بولتزمان أيضا مقياس جيبس.

مقدمة[عدل]

حركة الجزيئات في الغاز المثالي (جزيئات أو ذرات نقطية(مثل النقاط)) وهي تتحرك بسرعات مختلفة بسبب الاصتدام.

يعطينا ثابت بولتزمان k متوسط طاقة الجزيئ أو الذرة في غاز مثالي تحت درجة حرارة ثابتة T :

=3/2 kT جول

وبفرض أن لدينا 1/4 مول من الغاز، يمكننا حساب الطاقة الكلية للنظام عند درجة حرارة 300 كلفن،

أولا :

عدد الدرات في ربع مول (وليكن غاز الهيليوم)== 1/4. 6,022. 10**23 == 1,5. 10**23.. جزيئ

ونظرا لأن درجة الحرارة 300 كلفن نحصل على متوسط طاقة الذرة :

== 3/2 eV) 0,039 = 300. (-5)**10. 8,6 == kT)

حيث ثابت بولتزمان eV (-5)**10. 8,6 = k

ونحصل على الطاقة الكلية للنظام :

== 039و0 (eV.. 10**23. 0,06 == 23**10. 1,5. (eV

= eV.. 21**10. 6

تعطينا الحسبة السابقة الطاقة الكلية للنظام الغازي عند درجة حرارة 300 كلفن. وتعطينا أيضا متوسط طاقة كل ذرة (طاقة حركة) وهي 039و0 إلكترون فولت (eV).

ولكن هذا الحساب تقريبي حيث يعتبر أن كل ذرة من ذرات الغاز تحمل نفس الطاقة التي قدرها 039و0 إلكترون فولت عند 300 كلفن، وهذا ليس صحثحا تماما لأن هذه هي طاقة حركة ذرات الغاز، وهذه الطاقة متغيرة من ذرة إلى ذرة لأنها تعتمد على سرعة الذرة الغاز، طبقا للعلاقة :

طاقة الحركة = 1/2 m.v2

حيث m كتلة الذرة بالجرام، و v سرعته بالكيلومتر/ثانية.

لذلك فالمعالجة السابقة تعطينا متوسط طاقة الحركة لذرات الغاز، كما لوكانت كل ذرة تحمل نفس المقدار من الطاقة، ولكن لكي نعرف التوزيع الحقيقي لطاقة الذرات في الغاز وهو التوزيع الذي نجده عمليا ً، فعلينا التدقيق في معالجتنا لتلك المسألة. وذلك هو الداعي لكي يقوم بولتزمان لتوسيع حساباته، وهو الجزء التالي :

التوزيع في الحالة الغازيه[عدل]

نفترض أن لدينا نظام معزول مكون من مجموعة من الجسيمات عددها N عند درجة حرارة ثابتة، موزعة على عدد من مستويات الطاقة.ونفترض وجود عدد من تلك الجسيمات Ni تشغل الحالة i ومقدار طاقتها Ei. تعطينا معادلة بولتزمان التوزيع الآتي لجميع الجزيئات :

{{N_i}\over{N}} = {{g_i e^{-E_i/(k_BT)}}\over{Z(T)}}

حيث :

k_B ثابت بولتزمان

T درجة الحرارة

g_i عدد يعطي عدد المستويات ذات الطاقة Ei

Ni:عدد الجزيئات ذات الطاقة E_i

حيث

N=\sum_i N_i\,

وتسمى (Z(T دالة التوزيع، وهي تساوي:

Z(T)=\sum_i g_i e^{-E_i/(k_BT)}.

أي أنها تعطي احتمال وجود نظام الجسيمات في تلك الحالة من حالات الطاقة.

وينطبق توزيع بولتزمان في حالة الجسيمات عند درجة حرارة عالية وكثافة منخفضة بحيث يمكن إهمال التأثيرالكمي ,ان تتبع الجسيمات شروط توزيع ماكسويل-بولتزمان.

وكثيرا ما يعبر عن توزيع بولتزمان بالعلاقة β = 1/kT حيث β يسمي بيتا الحرارية.

وبالنسبة للعبارة e^{-\beta E_i} أو العبارة e^{-E_i/(kT)} فتسميان معامل بولتزمان وتظهر كثيرا في درارسة الفيزياء والكيمياء، وهي تعطي الاحنمال النسبي لتواجد الحالة الطاقية.ان التا,

وعندما تكون الحالة الطاقية للجسيم منحصرة في طاقة الحركة، نحصل على:

E_i = {\begin{matrix} \frac{1}{2} \end{matrix}} mv^{2},

بهذا يعطينا هذا التوزيع التوزيع المعروف باسم توزيع ماكسويل-بولتزمان والذي يعطينا توزيع سرعات الجسيمات والذي توصل إليه ماكسويل من قبل عام 1859.

والاختلاف بين التوزيعين أن توزيع بولتزمان أكثر عموميا، فيمكن به- علي سبيل المثال - حساب تغير كثافة الجسيمات بتأثير الجاذبية الأرضية بالارتفاع عن سطح الأرض، أي عندما تكون :

E_i = {\begin{matrix} \frac{1}{2} \end{matrix}} mv^{2} + mgh

كما يمكن صياغة توزيع ماكسويل-بولتزمان بطريقة تفاضلية عندما تمثل g(EdE عدد حالات الطاقة الموجودة في حيز للطاقة بين E to E + dE، فيعطينا توزيع بولتزمان احتمالا لتوزيع الطاقة بالعلاقة.

p(E)\,dE = {g(E) e^{-\beta E}\over {\int g(E') e^{-\beta E'}}\,dE'}\, dE.

في هده الحالة تسمى (g(E كثافة الحالات عندما يكون طيف الطاقة مستمر. ويقال عن الجسيمات التي لها مثل هذا التوزيع للطاقة بأنها تتبع إحصاء ماكسويل-بولتزمان.

اقرأ أيضا[عدل]