توزيع بيتا

توزيع بيتا

دالة الكثافة الاحتمالية
دالة التوزيع التراكمي
المؤشرات	$\alpha > 0$ (حقيقي) $\beta > 0$ (حقيقي)
الدعم	$x \in (0; 1)\!$
د۔ك۔ح۔	$\frac{x^{\alpha-1}(1-x)^{\beta-1}} {\mathrm{B}(\alpha,\beta)}\!$
د۔ت۔ت	$I_x(\alpha,\beta)\!$
المتوسط الحسابي	$\frac{\alpha}{\alpha+\beta}\!$
الوسيط الحسابي	$I_{0.5}^{-1}(\alpha,\beta)$ بلا صيغة مغلقة.
المنوال	$\frac{\alpha-1}{\alpha+\beta-2}\!$ إذا $\alpha>1, \beta>1$
التباين	$\frac{\alpha\beta}{(\alpha+\beta)^2(\alpha+\beta+1)}\!$
التجانف	$\frac{2\,(\beta-\alpha)\sqrt{\alpha+\beta+1}}{(\alpha+\beta+2)\sqrt{\alpha\beta}}$
التفرطح	$6\,\frac{\alpha^3-\alpha^2(2\beta-1)+\beta^2(\beta+1)-2\alpha\beta(\beta+2)}{\alpha \beta (\alpha+\beta+2) (\alpha+\beta+3)}\!$
الاعتلاج	$\log(\gamma)\,+\,\log(4\,\pi)\!$
د۔م۔ع	$1 +\sum_{k=1}^{\infty} \left(\prod_{r=0}^{k-1} \frac{\alpha+r}{\alpha+\beta+r} \right) \frac{t^k}{k!}$
الدالة المميزة	${}_1F_1(\alpha; \alpha+\beta; i\,t)\!$
معلومات فيشر	{{{معلومات فيشر}}}

في نظرية الاحتمالات والإحصاء، توزيع بيتا توزيع احتمالي مستمر والاسم مشتق من اسم الدالة الرياضية بيتا التي تظهر في معادلاتها.

الخواص

دالة الكثافة

دالة كثافته الخاصة بتوزيع بيتا تعطى بالشكل التالي:

$f(x;\alpha,\beta) = \frac{x^{\alpha-1}(1-x)^{\beta-1}}{\int_0^1 u^{\alpha-1} (1-u)^{\beta-1}\, du} \!$

$= \frac{\Gamma(\alpha+\beta)}{\Gamma(\alpha)\Gamma(\beta)}\, x^{\alpha-1}(1-x)^{\beta-1}\!$

$= \frac{1}{\mathrm{B}(\alpha,\beta)}\, x ^{\alpha-1}(1-x)^{\beta-1}\!$

حيث $\Gamma$ هي دالة غاما. فيما B دالة بيتا للاستنظام حتى يصبح تكاملها على الفترة يساوي واحد.

دالة التوزيع

دالة التوزيع التراكمي لمتغير عشوائي يتبع توزيع بيتا تعطى بالشكل التالي:

$F(x;\alpha,\beta) = \frac{\mathrm{B}_x(\alpha,\beta)}{\mathrm{B}(\alpha,\beta)} = I_x(\alpha,\beta) \!$