جبر حالي

جبر حالي (بالإنجليزية: Current algebra)‏ هي أحد الأطر الرياضية الموجودة في نظرية الحقل الكمي، حيث أن الحقول الآتية من جبر لي تكون معتمدة العلاقات المتبادلة بينهما.

مثال

في تناظر يانغ–ميلز اللا-أبيلية، الرمزان V وA هما كثافة flavor-current وaxial-current على الترتيب، نموذج الجبر الحالي هو

$[V^{a}({\vec {x}}),V^{b}({\vec {y}})]=if_{c}^{ab}\delta ({\vec {x}}-{\vec {y}})V^{c}({\vec {x}}),$ و

$[V^{a}({\vec {x}}),A^{b}({\vec {y}})]=if_{c}^{ab}\delta ({\vec {x}}-{\vec {y}})A^{c}({\vec {x}}),\qquad [A^{a}({\vec {x}}),A^{b}({\vec {y}})]=if_{c}^{ab}\delta ({\vec {x}}-{\vec {y}})V^{c}({\vec {x}})~,$

حيث f هي ثوابت جبر لي. للحصول على تعبيرات ذات معنى، يجب أن تكون مرتبة طبيعية.

الجبر يُحل لمجموع مباشر من اثنين من الجبر هما، L و R, وفق التعريف

$2L^{a}({\vec {x}})\equiv V^{a}({\vec {x}})-A^{a}({\vec {x}}),\qquad 2R^{a}({\vec {x}})\equiv V^{a}({\vec {x}})+A^{a}({\vec {x}}),$

حيث $[L^{a}({\vec {x}}),L^{b}({\vec {y}})]=if_{c}^{ab}\delta ({\vec {x}}-{\vec {y}})L^{c}({\vec {x}}),\quad [L^{a}({\vec {x}}),R^{b}({\vec {y}})]=0,\quad [R^{a}({\vec {x}}),R^{b}({\vec {y}})]=if_{c}^{ab}\delta ({\vec {x}}-{\vec {y}})R^{c}({\vec {x}})~.$

المصادر

• Sam B. Treiman; Roman Jackiw; دايفيد غروس، Lectures on current algebra and its applications. Princeton Series in Physics. Princeton University Press, Princeton, N.J., 1972. x+362 pp.