جداء قياسي

من ويكيبيديا، الموسوعة الحرة
اذهب إلى: تصفح، ‏ ابحث
الجداء القياسي بين متجهتين تكونان زاوية حادة \theta

الجداء القياسي ويسمى أحيانا الضرب القياسي أوالجداء السُملي، هو عمليةٌ جبرية بين متجهين ونتيجتها كمية قياسية.

تعريف[عدل]

تعريف جبري[عدل]

\mathbf{a}\cdot \mathbf{b} = \sum_{i=1}^n a_ib_i = a_1b_1 + a_2b_2 + \cdots + a_nb_n

يُعرف الجداء القياسي في المستوى لمتجهتين \mathbf{A} و \mathbf{B} كالآتي:

\mathbf{A}\cdot \mathbf{B} = A_xB_x + A_yB_y + A_zB_z

حيث (Ax, Ay, Az) هي مركبات المتجه A و (Bx, By, Bz) هي مركبات المتجه B.

يمكن استخدام الضرب القياسي هذا لمعرفة الزاوية الواقعة بين متجهين.

تعريف هندسي[عدل]

صيغة أخرى لحاصل الضرب القياسي

\mathbf{A}\cdot \mathbf{B} = AB \cos \theta

حيث A هو طول المتجه A و B هو طول المتجه B و θ هي الزاوية بينهما.

خصائص[عدل]

  1. تبديلي :  \mathbf{a} \cdot \mathbf{b} = \mathbf{b} \cdot \mathbf{a}.
    تنبثق هذه الخاصية من تعريف الجداء القياسي (θ هي الزاوية المحصورة بين a و b)
    \mathbf{a}\cdot \mathbf{b} = \|\mathbf{a}\|\|\mathbf{b}\|\cos\theta = \|\mathbf{b}\|\|\mathbf{a}\|\cos\theta = \mathbf{b}\cdot\mathbf{a}
  2. توزيعي على جمع المتجهات : (a.b + a.c = a.(b+c
  3. تعامدي : متجهتان a و b مختلفتان عن الصفر يكونان متعامدتين إذا وفقط إذا توفر a.b = 0.
  4. لا إلغاء :

تطبيق لقانون الجيب التمام[عدل]

مثلث ضلعاه a و b تفصلهما زاوية θ.

\begin{align}
\mathbf{c}\cdot\mathbf{c}  & = (\mathbf{a}-\mathbf{b})\cdot(\mathbf{a}-\mathbf{b}) \\
 & =\mathbf{a}\cdot\mathbf{a} - \mathbf{a}\cdot\mathbf{b} - \mathbf{b}\cdot\mathbf{a} + \mathbf{b}\cdot\mathbf{b}\\
 & = a^2 - \mathbf{a}\cdot\mathbf{b} - \mathbf{a}\cdot\mathbf{b} + b^2\\
 & = a^2 - 2\mathbf{a}\cdot\mathbf{b} + b^2\\
 c^2 & = a^2 + b^2 - 2ab\cos \theta\\
\end{align}

وهذا هو قانون الجيب التمام.

في الفيزياء[عدل]

تعميمات[عدل]

الجداء الداخلي[عدل]

انظر إلى فضاء متجهي معياري.

أنظر أيضا[عدل]

مراجع[عدل]

وصلات خارجية[عدل]

Nuvola apps edu mathematics-ar.svg هذه بذرة مقالة عن الرياضيات تحتاج للنمو والتحسين. ساهم في إثرائها بالمشاركة في تحريرها.