جداء (رياضيات)

من ويكيبيديا، الموسوعة الحرة
اذهب إلى: تصفح، ‏ ابحث

في الرياضيات، الجداء هو نتيجة عملية ضرب كميتين اثنتين. الترتيب الذي تأتي فيه الأعداد الحقيقية أو العقدية في عملية الضرب ليس له تأثير على قيمة الجداء. هذه الخاصية تعني أن عملية الضرب هي عملية تبديلية.

جداء عددين[عدل]

جداء عددين طبيعيين[عدل]

3 في 4 تساوي 12

وضع عدد من الكرات على شكل مستطيل عدد أسطره r وعدد أعمدته s يعطي :

 r \cdot s = \sum_{i=1}^s r = \sum_{j=1}^r s

كرة.

جداء عددين صحيحين[عدل]

\begin{array}{|c|c  c|}\hline
\cdot & - & + \\ \hline
  -   & + & - \\ 
  +   & - & + \\ \hline
\end{array}

وبتعبير آخر:

  • جداء عددين سالبين عدد موجب.
  • جداء عدد سالب وعدد عدد سالبٌ.
  • جداء عدد موجب وعدد سالب عدد سالبٌ.
  • جداء عددين موجبين عدد موجب.

جداء كسرين[عدل]

جداء كسرين هو كسر بسطه يساوي جداء بسط الكسرين ومقامه يساوي جداء مقام الكسرين، كما تبين ذلك الصيغة التالية:

 \frac{z}{n} \cdot \frac{z'}{n'} = \frac{z\cdot z'}{n\cdot n'}

جداء عددين حقيقيين[عدل]

جداء عددين عقديين[عدل]

يحسب جداء عددين عقديين باستعمال قانون التوزيعية وبعلم كون \mathrm i^2=-1 كما تبين ذلك الصيغة التالية:

\begin{align}
(a + b\,\mathrm i)\cdot (c+d\,\mathrm i) 
 & = a\cdot c + a \cdot d\,\mathrm i + b\cdot c \,\mathrm i + b\cdot d \cdot \mathrm i^2\\
 & = (a \cdot c - b\cdot d) + (a\cdot d + b\cdot c) \,\mathrm i
 \end{align}

المعنى الهندسي لجداء عددين عقديين[عدل]

عدد عقدي في تمثيله القطبي.

يمكن أن تكتب الأعداد العقدية في النظام الإحداثي القطبي كما يلي:

 a + b\,\mathrm i = r \cdot ( \cos(\varphi) + \mathrm i \sin(\varphi) ) = r \cdot \mathrm e ^{\mathrm i \varphi}

وبالإضافة إلى ذلك،

 c + d\,\mathrm i = s \cdot ( \cos(\psi) + \mathrm i \sin(\psi) ) = s \cdot \mathrm e ^{\mathrm i \psi} , ومن ذلك يحصل على ما يلي:
 (a \cdot c - b\cdot d) + (a\cdot d + b\cdot c) \,\mathrm i = r\cdot s \cdot ( \cos(\varphi+\psi) + \mathrm i \sin(\varphi+\psi) ) = r\cdot s \cdot \mathrm e ^{\mathrm i (\varphi+\psi)}

المعنى الهندسي لجداء عددين عقديين هو جداء معياريهما وجمع عمدتيهما.

جداء متتاليتين[عدل]

الجداءات في الجبر الخطي[عدل]

الجداء القياسي[عدل]

جداء قياسي A scalar product is a bilinear map:

 \cdot : V \times V \rightarrow \R

with the following conditions, that  v\cdot v > 0 for all  0 \not= v \in V .

From the scalar product, one can define a norm by letting \|v\| := \sqrt{v\cdot v} .

The scalar product also allows one to define an angle between two vectors:

 \cos \angle (v,w) = \frac{v\cdot w}{\|v\| \cdot \|w\|}

In n-dimensional Euclidean space, the standard scalar product (called the dot product) is given by:

 \left(\sum_{i=1}^n \alpha_i e_i \right) \cdot \left(\sum_{i=1}^n \beta_i e_i \right) = \sum_{i=1}^n \alpha_i\,\beta_i

الجداء الاتجاهي في الفضاء ثلاثي الأبعاد[عدل]

الجداء الاتجاهي

جداء مصفوفتين[عدل]

لتكن المصفوفتين

 A = (a_{i,j})_{i=1\ldots s;j=1\ldots r} \in \R^{s\times r} و  B = (b_{j,k})_{j=1\ldots r;k=1\ldots t}\in \R^{r\times t}

جداؤهما هو:

 B \cdot A = \left( \sum_{j=1}^r a_{i,j} \cdot b_{j,k} \right)_{i=1\ldots s;k=1\ldots t} \;\in\R^{s\times t}

تركيب دالتين خطيتين ممثلا بجداء مصفوفتين[عدل]

جداءات أخرى[عدل]

هناك العديد من أنواع الجداءات الأخرى اللائي يدرسن في الرياضيات:

انظر أيضا[عدل]

وصلات خارجية[عدل]

Nuvola apps edu mathematics-ar.svg هذه بذرة مقالة عن الرياضيات تحتاج للنمو والتحسين. ساهم في إثرائها بالمشاركة في تحريرها.