جسر ويتستون

قنطرة وهيتستون هي قنطرة كهربية لقياس المقومات ، اخترعها الإنجليزي صمويل كريستي عام 1833 وحسنها وأكملها شارلز وهيتستون عام 1843 . وتـُجري عملية قياس المقاومة الكهربية المجهولة بعد تركيبها في دائرة كهربائية ذات فرعين (قنطرة) ثم موازنة التيار فيهما. وهي تعمل مثلما يعمل مقياس الجهد potentiometer ، مع الفرق أن في دائرة مقياس الجهد يستعمل جلفانومتر حساس.

قنطرة وهيتستون وفيها المقاومة المجهولة Rx.

طريقة القياس

في الشكل المجاور تمثل المقاومة الكهربية Rx المقاومة المجهولة والمطلوب تعيينها .المقاومات $R_1$ و$R_2$ و $R_3$ معروفين ، في حين أن المقاومة $R_2$ قابلة للتغيير . فإذا تساوت نسبة المقاومتين الموجدتين في الفرع المعروف $(R_2 / R_1)$ مع نسبة المقاومتين في الفرع الغير معروف $(R_x / R_3)$ يصبح فرق الجهد بين النقطتين B و D صفرا ولا يمر تيار كهربي في الجلفانومتر $V_g$. لذلك نغير المقاومة المتغيرة $R_2$ حتي نحصل على حالة الاتزان . وتوضح قراءة الجلفانومتر عما إذا كانت المقاومة $R_2$ كبيرة أم صغيرة.

ويمكن قراءة الجلفانومتر بدقة عالية . فإذا كانت المقاومات $R_1$ و $R_2$ و $R_3$ معروفة بدقة عالية ، أصبح من الممكن تعيين المقاومة المجهولة $R_x$ أيضا بدقة عالية.

عند الوصول إلى حالة التوازن ، تنطبق المعادلة :

$R_2 / R_1 = R_x / R_3$

وبناءا على ذلك يكون:

$R_x = (R_2 / R_1) \cdot R_3$

وهناك حالة تكون فيها قيم المقاومات $R_1$ و $R_2$ و $R_3$ معروفة من دون أن تكون المقاومة $R_2$ قابلة للتغيير . في هذه الحالة نستطيع أن نستعمل قراءة فرق الجهد على مقياس الجهد $V_g$ أو شدة التيار المار فيه لتعيين المقاومة $R_x$ باستخدام قانون كيرشوف .

استنباط معادلة قنطرة وهيتستون

نستخدم القاعدة الأولى من قانون كيرشوف للجهد للحصول على شدة التيار في النقطتين B و D:

$I_3 \ - I_x \ + I_g = 0$

$I_1 \ - I_2 \ - I_g = 0$

ثم نستخدم القاعدة الثانية لقانون كيرشوف للحصول على فرق الجهد في جزئي الدائرة ABD و BCD:

$(I_3 \cdot R_3) - (I_g \cdot R_g) - (I_1 \cdot R_1) = 0$

$(I_x \cdot R_x) - (I_2 \cdot R_2) + (I_g \cdot R_g) = 0$

نوازن القنطرة بحيث يكون $I_g = 0$ ، بذلك يمكننا صياغة المعادلتين الأخيرتين بالطريقة الآتية :

$I_3 \cdot R_3 = I_1 \cdot R_1$

$I_x \cdot R_x = I_2 \cdot R_2$

بقسمة المعادلتين على بعضهما وعزل Rx على الجانب الأيسر ، نحصل على الصيغة التالية :

$R_x = {{R_2 \cdot I_2 \cdot I_3 \cdot R_3}\over{R_1 \cdot I_1 \cdot I_x}}$

نعرف من القاعدة الأولى لكيرشوف أن $I_3 = I_x$ و $I_1 = I_2$ ، ويمكن حساب المقاومة المجهولة بواسطة المعادلة:

$R_x = {{R_3 \cdot R_2}\over{R_1}}$

أصبحت الآن قيم الأربعة مقاومات معروفة وكذلك جهد المصدر $V_S$ . ويمكن تعيين فرق الجهد عبر القنطرة $V_G$ عن طريق تعيين جهد عند النقطتين B و D وطرح قيمتيهما . فتنطبق المعادلة :

$V_G = {{R_x}\over{R_3 + R_x}}V_s - {{R_2}\over{R_1 + R_2}}V_s$

ويمكن تبسيط تلك المعادلة لتصبح:

$V_G = \left({{R_x}\over{R_3 + R_x}} - {{R_2}\over{R_1 + R_2}}\right)V_s$

أقرأ أيضا

• دارة التوالي أو التوازي