جسيم في حلقة

من ويكيبيديا، الموسوعة الحرة
اذهب إلى: تصفح، ‏ ابحث

جسيم في حلقة في ميكانيكا الكم (بالإنجليزية: particle in a ring ) هو أحد النماذج المسخدمة في ميكانيكا الكم تؤدي إلى كمومية الطاقة (أي أن تتخذ الطاقة كمات محددة منفصلة) . ويعتبر هذا المثال مشابها لحالة الجسيم في صندوق والمحلولة هناك بإسهاب . ولذلك يسمى هذا النموذج أحيانا " جسيم في صندوق جهدي حلقي " .

تنشأ على محيط الدائرة عددا صحيحا فقط من أنصاف طول الموجة وتكوّن موجة ساكنة ، كما يمكن تكوّن ترددات خاصة معينة تفي بهذا الشرط ، وبالتالي عدة مستويات طاقة منفصلة.

والاختلاف عن حالة الجسيم في صندوق هو أن الجسيم هنا يتحرك دائريا وليس في خط مستقيم في حلقة جهد حول نقطة معينة .

وتصاغ معادلة شرودنجر لهذه الحالة كالآتي :

- \frac{\hbar^2}{2mr^2}\cdot\frac{\partial^2}{\partial \phi^2}\psi(\mathbf{\phi}) \;=\; E\psi(\mathbf{\phi})

حيث :

E طاقة الجسيم
m كتلة الجسيم
r نصف قطر الحلقة الجهدية
 \psi(\mathbf{\phi}) الدالة الموجية للجسيم .


الصياغة الرياضية[عدل]

لكي نحصل عل الدوال الموجية و ومستويات الطاقة لجسيم في الحلقة نستخدم معادلة شرودنغر في الحالة المستقرة (التي لا تعتمد على الزمن) في الجهد الموجود . ويمثل الجهد بالعلاقة:

 V(\phi) = \begin{cases}
V_0, & \text{when } r=\rho \\
\infty, & \text{otherwise}
\end{cases}

ويمكن كتابة معامل هاميلتون في نظام الإحداثيات الكروية في مسألتنا كالآتي:

\hat H = - \frac{\hbar^2}{2m \rho^2}\frac{d^2}{d\phi^2}+V_0

فتنتج معادلة شرودنجر التي نريد حلها :

\psi''(\phi)=-\frac{2m\rho^2}{\hbar^2}(E-V_0)\psi(\phi).

وهي معادلة تفاضلية خطية من الدرجة الثانية ، وفيها طاقة E الجسيم ، وحل المعادلة يعطينا الدالة الموجية للجسيم :

\psi_M(\phi)=\alpha e^{iM\phi}.\!\,

وبالتعويض عنها في معادلة شرودنجر نحصل على :

M= \frac{\sqrt{2m(E-V_0)}}{\hbar}\rho . \!\,

ولكي نصل إلى حل واضح المعنى لا بد من اختيار شرط هام ، وهو أنه بعد إتمام دورة كاملة في الحلقة لابد وأن تتخذ الدالة الموجية قيمتها الابتدائية ثانيا:

\psi(\phi)=\psi(\phi+2\pi), \!\,

وهذا يؤدي إلى الشرط التالي:

 \begin{align}
\alpha e^{iM\phi} &= \alpha e^{iM(\phi+2\pi)} \\
e^{iM \phi} &= e^{iM\phi} e^{2\pi i M} \\
e^{2 \pi i M} &= 1 .
\end{align} \!\,

وهذا الشرط يتحقق عندما تكون M عددا صحيحا . ونحصل على الطاقات التي يمكن للجسيم امتلاكها في الحلقة عن طريق اعادة تشكيل المعادلة:

 E= \frac{M^2 \hbar^2}{2m \rho^2}+V_0, \quad M \in \mathbb Z . \!\,

والآن نقوم بتوحيد الدالة الموجية ، عن طريق إجراء تكامل على مربع مقدار الدالة الموجية بين 0 و 2\pi (التوحيد معناه أن الدالة الموجية موجودة في الحلقة بنسبة 100%) .

ويمكن كتابة الدالة الموجية ب صيغة أويلر التي تحول الدالة الأسية المركبة إلى دالة مثلثية بالطريقة التالية:


 \alpha e^{iM\phi} = \alpha (i \sin{(M\phi)}+\cos{(M \phi)} ) \!\,

وبما أن مقدار العدد المركب z معرف بالعلاقة |z| = \sqrt{\text{Im}(z)^2+\text{Re}(z)^2}

فنحصل على:

 \alpha^2 \int_0^{2\pi} \underbrace{\sin^2{(M\phi)}+\cos^2{(M \phi)}}_{=1} \mathrm d \phi=1,

بذلك نحصل على قيمة \alpha= \frac{1}{\sqrt{2\pi}} .

بذلك نكون قد توصلنا إلى الدالة الموجية لجسيم في الحلقة :

 \psi_M(\phi) = \begin{cases}
\frac{1}{\sqrt{2\pi}}e^{iM\phi} \quad M \in \mathbb Z, & \text{when } r=\rho \\
0, & \text{otherwise.}
\end{cases}
حيث  \rho\!\, هو نصف قطر الحلقة الذي يستقر فيه الجسيم .

كما حصلنا أعلاه على الطاقات E التي يمكن للجسيم امتلاكها وهي تعتمد على  M^2 حيث M لا تأخذ سوى أعدادا صحيحة ، وهذ هو معنى كمومية الطاقة ، فالطاقة التي يمكن للجسيم امتلاكها تكون منفصلة descret.

الانفطار[عدل]

بين حل مسألة حركة جسيم في حلقة جهدية أن طاقة الجسيم تتخذ مقادير كمومية منفصلة ، وبجانب تلك النتيجة الهامة يشير المثال إلى تواجد صفة افطار أو انشقاق مستويات الطاقة . فحل مسألة الجسيم في حلقة أتي بقيم ل M ذات إشارة موجبة وذات إشارة سالبة ، أي تمثل حالتين مختلفتين حيث M^2 تمثل نفس الطاقة . هذا معناه أنه توجد لكل مستوي طاقة حالتين ، ويسمى ذلك أن النظام منفطر انفطارا ثنائيا .

ونشاهد ظاهرة انفطار مستويات طاقة الإلكترون في الذرات عند تعرض الذرة إلى مجال مغناطيسي خارجي شديد كما في تأثير زيمان ، أو تعرض الذرة إلى مجال كهربائي خارجي شديد مثلما في تأثير شتارك. وتظهر عمليا في هيئة انشقاق خطوط الطيف لها .


توحيد الدالة الموجية للزخم الزاوي[عدل]

للحصول على القيم A للزخم الزاوي نستخدم عملية التوحيد وهي أحد شروط حل الدالة الموجية لجسيم . والتوحيد معناه أن الجسيم موجود فعلا في الحلقة .

\int_0^{2\pi}|\psi|^2 d\varphi=1




   |\psi|^2=\psi^*\psi=(A e^{in\varphi})^*Ae^{in\varphi}=A^* e^{-in\varphi}Ae^{in\varphi}=|A|^2



للحصول على قيمة الدالة الموجية نضرب الدالة الموجية في مرافقها \psi^* ، ونأخذ الجذر التربيعي منها.

نحصل على ثابت التوحيد A بإجراء تكامل المعادلة:

|A|^2\int_0^{2\pi}d\varphi=1\longrightarrow A=\frac{1}{\sqrt{2\pi}}e^{i\beta}



بذلك نحصل على الدالة الموجية الموحدة :


 \psi(\varphi)=\frac{1}{\sqrt{2\pi}}e^{i(n\varphi+\beta)}



وتتحقق المعادلة عندما يكون ثابت التوحيد عددا حقيقيا (أي عندما يكون طور الموجة مساويا للصفر ، \beta=0).


وبالتعويض عنها في معادلة مربع الدالة الموجية أعلاه , نحصل على الكثافة الاحتمالية :



|\psi|^2=\psi^*\psi=|A|^2= \frac{1}{2\pi}




وهي نتيجة تتفق مع الميكانيكا الكلاسيكية .

المصادر[عدل]

انظر أيضاً[عدل]

Science.jpg هذه بذرة مقالة عن الفيزياء تحتاج للنمو والتحسين، فساهم في إثرائها بالمشاركة في تحريرها.