جمع المصفوفات

جمع عناصر مصفوفتين

لكى يتسنى جمع مصفوفتين فلابد ان يكونا من نفس الحيز, ويعرف حاصل جمع مصفوفتين بأنه المصفوفة الناتجة من جمع العناصر المتناظرة في المصفوفتين فعلى سبيل المثال إذا كان

ِ$A=\begin{bmatrix}1&2&3\\0&-1&2\end{bmatrix}$ ,$B=\begin{bmatrix}0&-1&2\\7&2&3\end{bmatrix}$ فإن $C=A+B=\begin{bmatrix}1&1&5\\7&1&5\end{bmatrix}$

و بصفة عامة إذا كان

$A_{mxn} = a_ij, B_{mxn} = b_ij$

فإن $A+B$ هي مصفوفة جديدة $C_{mxn} = c_ij$ حيث

$c_{ij}=a_{ij}+b_{ij}$

خواص عملية جمع المصفوفات

تحقق عملية جمع المصفوفات الخواص الاتية. وهذه الخواص تناظر تماما تلك الموجودة في جمع الأعداد.

1 - الابدال

لأى مصفوفتين A,B من نفس الحيز تحقق العلاقة

ِ$A+B=B+A$ و هذه الخاصية تعنى انه لا عبرة لترتيب اجراء عملية جمع المصفوفات.

2 - الدمج (خاصية التجميع)

لأى ثلاث مصفوفات A,B,C من نفس الحيز تحقق العلاقة

$A+(B+C)=(A+B)+C$

و هذه الخاصية توضح كيف يمكن جمع أكثر من مصفوفتين حيث لا يشترط البدء بترتيب معين.

3 - وجود المحايد الجمعى

المحايد الجمعى في علم الجبر بصفة عامة هو ذلك العنصر الذي إذا جمعته على أي عنصر آخر لا تتغير قيمة العنصر الأخير. ومن الواضح أن الذي يؤدى هذا الدور في المصفوفات هو المصفوفة الصفرية, ولكن يجب التنبيه على أن المحايد الجمعى في الأعداد هو عنصر وحيد وهو الصفر أما في المصفوفات فالمحايد الجمعى هو المصفوفة الصفرية وهذه ليست مصفوفة واحدة ولكنها تختلف باختلاف الحيز فلجميع المصفوفات التي تبدأ من الحيزmxn يكون المحيد الجمعى هو المصفوفة الصفرية $O_{mxn}$

4 - وجود المعكوس الجمعى

في علم الجبر بصفة عامة يعرف المعكوس الجمعى لعنصر ما بأنه عنصر آخر إذا جمعته على العنصر الأول كان الناتج هو المحايد الجمعى. كما تقول في الأعداد إن -3 هو المعكوس الجمعى للعدد 3 لأن 3+ (-3) = 0 وبنفس المنطق نجد ان المعكوس الجمعى لمصوفة هو مصفوفة أخرى من نفس الحيز مع تغيير إشارة جميع العناصر. فعلى سبيل المثال المعكوس الجمعى للمصفوفة

$\begin{bmatrix}1&2\\-1&3\end{bmatrix}$

هو المصفوفة

$\begin{bmatrix}-1&-2\\1&-3\end{bmatrix}$

و بصفة عامة نقول إن المعكوس الجمعى للمصفوفة A هو المصفوفة A- حيث تنتج المصفوفة الأخيرة من ضرب جميع عناصر المصفوفة في -1.