حدسية غولدباخ

من ويكيبيديا، الموسوعة الحرة
اذهب إلى: تصفح، ‏ ابحث

تعتبر حدسية غولدباخ واحدة من أقدم المعضلات غير المحلولة في نظرية الأعداد وفي الرياضيات ككل. سميت كذلك نسبة لعالم الرياضيات الألماني الذي وضعها، وهو كريستيان غولدباخ. كان ذلك عام 1742. وتنص على ما يلي:

" كل عدد صحيح طبيعي زوجي أكبر من 2 يمكن كتابته على شكل مجموع عددين أوليين. "

عدد الطرق المختلفة التي يكتب بها عدد زوجي ما أكبر قطعا من 2 على شكل مجموع عددين أوليين يسمى عدد غولدباخ.

عدد الطرق التي يكتب بها عدد زوجي ما على شكل مجموع عددين أوليين[1]

تاريخ[عدل]

رسالة غولدباخ لاويلر

في رسالة كتبها غولدباخ لأويلر عام 1792، أعلن عن حدسيتين:

  • كل عدد زوجي أكبر من 6 يساوي حاصل مجموع عددين اوليين فرديين.
  • كل عدد فردي أكبر من 9 يساوي حاصل مجموع ثلاثة اعداد اولية فردية.

وبشكل واضح الحدسية الثانية يمكن اشتقاقها من الاولى وذلك لانه يمكن كتابة كل عدد فردي بالشكل التالي:  2n+1=3+(2n-2) ، وقد عبر أويلر عن ايمانه بصحة هذه الحدسية ولكنه لم يستطع أن يقدم برهانا، وقد تم فحص هاتين الحدسيتين على مر السنين بالطرق العددية مثال: شين موك كونج فحص الحدسية حتى العدد 33\cdot 10^6 وقد وصل كل من لايت وفوريس وهاموند وروي إلى  10^8 وفي عام 1998 وصل الحد إلى 10^{14} .

وفي الخطاب المشهور في اجتماع كونجرس الرياضيات الذي أقيم في باريس عام 1900 اعلن هيلبرت 23 مسألة غير محلولة والتي يجب ان يعمل عليها الرياضياتيون في القرن ال-20 وقد تم ذكر هذه المسألة من ضمن المسائل، وفي عام 1912 أعلن لاندو عن أربعة مسائل في نظرية الاعداد الاولية من ضمنها حدسية جولدباخ والتي لا يوجد لها حل وذلك ضمن خطابه في اجتماع كونجرس الرياضيات الخامس والذي عقد في كامبريج. في عام 1921 اعلن هاردي في خطابه امام المجتمع الرياضياتي في كوبنهاجن أن المسألة ليست فقط من أصعب المسائل في نظرية الاعداد ولكن في كل الرياضيات.

وفي عشرينيات القرن العشرين حدث تقدم ملحوظ على المسألة حيث أن قبلها لم تكن هناك وسائل البتة لحل المسألة وقد تركز البحث على فحص الاعداد أو في بعض الأحيان كتابة حدسيات جديدة مشتقة من الحدسية. وقد كانت الوسيلة الجديدة تسمى "طريقة الدائرة" وقد استخدمها الرياضياتيان هاردي وليتل-وود في عام 1923 أن كل عدد فردي كبير هو مجموع ثلاثة اعداد اولية فردية وتقريبا كل عدد زوجي هو مجموع عددين اوليين فرديين وتم ذلك بافتراض أن حدسية ريمان الموسعة صحيحة. وقد كان الرياضياتي النرويجي برون بواسطة "وسيلة الغربال" (sieve method)عام 1919 قد توصل إلى أن كل عدد زوجي كبير هو مجموع عددين بحيث أن كل منها يمكن تفكيكه ل-9 عوامل اولية على الأكثر،وفي 1930 نجح العالم الروسي شنايرلمان (Schnirelman) بالتوصل إلى نظرية مهمة في نظرية الاعداد الاولية المتطرقة للمجاميع (additive number theory) وهي:يوجد عدد c صحيح بحيث أن كل عدد صحيح أكبر من 2 هو مجموع c اعداد اولية على الأكثر.

وفي عام 1937 نجح العالم الروسي فينوغرادوف في ازالة العلاقة مع نظرية ريمان الموسعة وذلك بواسطة "طريقة الدائرة" وأيضا بواسطة طريقته المبتكرة لتقريب المجموع الأسي على الاعداد الاولية (وهو S=\sum_{p\le P } e^{2\pi i f(p)} ) ونجح ببرهنة ما تم سابقا بواسطة ليتيل-وود وهاردي ولكن دون الحاجة لنظريات ريمان.

وبعد تطورات عديدة على "وسيلة الغربال" التي طورها برون نجح العالم الصيني تشين جن رن في عام 1966 نجح بالتوصل إلى أن كل عدد زوجي هو مجموع عدد أولي وعدد آخر لديه عاملان أوليان على الأكثر.

في عام 1995 نجح راميري ببرهنة نظرية اضعف من حدسية غولدباخ وهي تنص على أن كل عدد زوجي يمكن كتابته بشكل مجموع ستة اعداد اولية على الأكثر. وفي نفس العام نجح كانيكي بالتوصل لنظرية اقوى: اذا افترضنا نظرية ريمان حينها كل عدد زوجي يمكن كتابته بشكل مجموع خمسة اعداد اولية على الأكثر. ويمكن تقوية نظرية كانيكي للوصول حتى أربعة اعداد اولية بربطها مع مسألة فحص حسابية.

مسائل معممة[عدل]

يمكن تعميم حدسية غولدباخ بشكل يسمح بدراسة مسألة أكثر شمولية بحيث هذه المسألة يمكن ان يتفرع منها مسائل اخرى هي أيضا مهمة:

مسألة 1: فلتكن A مجموعة جزئية ل- \mathbb{N} وليكن  s عدد صحيح، ما هي المجموعة:  \{a_1+\cdots +a_s:a_i \in A \} \cap \mathbb{N} .

مسألة 2: فلتكن A_1,\cdots A_s مجموعة جزئية ل- \mathbb{N}، ما هي المجموعة:  \{a_1+\cdots +a_s:a_i \in A_i \} \cap \mathbb{N} .

يمكن اشتقاق مسائل مهمة من هذه المسائل وهي كالتالي:

  • حدسية غولدباخ: اذا اخترنا  A = P اي أننا اخترنا مجموعة الاعداد الاولية الموجبة واخترنا s=2 حينها المسألة 1 تكون كالتالي:  \{p_1+p_2: p_i \ \mbox{prime}\} \cap \mathbb{N} والتي حسب حدسية غولدباخ تضم كل الاعداد الزوجية أكبر من 2.
  • نظرية فينوجرادوف: اذا اخترنا  A = P اي أننا اخترنا مجموعة الاعداد الاولية الموجبة واخترنا s=3 حينها المسألة 1 تكون كالتالي:  \{p_1+p_2+p_3: p_i \ \mbox{prime}\} \cap \mathbb{N} وهي تضم حسب نظرية فينوجرادوف كل الاعداد الفردية الكبيرة كفاية.

طور العلمان هاردي وليتل-وود طريقة الدائرة للتعامل مع هذا النوع من المسائل وقد لاقت هذه الطريقة نجاحا باهرا حيث تم برهنة نظرية فينوجرادوف إذ انها تعتبر تقدم هائل نحو برهنة الحدسية وذلك للتقارب بينهما.

طريقة الدائرة[عدل]

هاردي وليتل وود (1921) في الاصل استخدما الطريقة لحل مسألة كتابة الاعداد الصحيحة بشكل مجموع اعداد صحيحة مرفوعة بالقوة k. لنفرض أن  R_{k,d}(n) عدد الطرق لكتابة n بواسطة d اعداد صحيحة مرفوعة بالقوة k. وهذه الطريقة هي لتقريب قيمة  R_{k,d}(n) عندما  n \to \infty و- k كبير جدا بالنسبة ل-d.

الفكرة العامة لهذه الطريقة هي كالتالي: ل- z\in \mathbb{C} عرف الدالة المنتجة التالية:

 \Phi _A (z) =\sum_{a \in A} z^a

ولاحظ أن معامل z^n في الدالة \Phi _A (z)^d هو عدد طرق طرق كتابة n بشكل حاصل جمع d اعداد من المجموعة A. ولكن من جهة اخرى هذا المعامل هو:

 \frac{1}{n!} \ \frac{\partial^n \Phi _A^d}{\partial z^n}(0)

وبواسطة صيغة كوشي التكاملية:

 R_{A,d}(n)=\frac{1}{2 \pi i} \ \oint_{\gamma} \Phi _A (z)^d z^{-(n+1)} \ dz

حيث أن \gamma منحنى طوله نهائي. والفكرة هي ايجاد طريقة بديلة لحساب التكامل وذلك لتقريب قيمة  R_{A,d}.وعندما يكون المنحنى دائري التكامل يمكن اختصاره لتكامل مجاميع أسية وهي الطريقة التي استخدمها فينوجرادوف عام 1929.

أمثلة[عدل]

  • 4=2+2
  • 6=3+3
  • 8=3+5
  • 10=5+5=3+7
  • 12=5+7
  • 14=7+7=3+11
  • 16=5+11=3+13
  • 18=7+11=5+13
  • 20=3+17=7+13
  • 22=3+19=5+17
  • 24=5+19=7+17
  • 26=7+19=13+13

نتائج متحقق منها[عدل]

لقد تم فحص حدسية غولدباخ لايجاد مثال مضاد ولكن عبثا إذ أن ديسبوفيس(1855) فحص الحدسية لكل عدد اصغر من 10,000، وفي عام 1940 فحص بيبينغ الحدسية حتى العدد 100,000 بواسطة الحاسوب وعام 1964 بواسطة العالمين ستين وستين وصل الفحص حتى العدد  10^8 وفي الأعوام التي تلت نجح جرانفيل ولون ورايلي بالوصول إلى  2 \times 10^{10} وذلك كان عام 1989. وفي عام 1998 توصل ديشوليرس رايلي وساوتر بالوصول إلى 10^{14} اما ريتشستاين وصل بفحصه حتى:  4 \times 10^{14} .

حدسيات مماثلة[عدل]

  • حدسية غولدباخ الضعيفة: كل عدد فردي أكبر من 9 يساوي حاصل مجموع ثلاثة اعداد اولية فردية. وكما تم ذكر هذا سابقا فانه يمكن اشتقاق هذه الحدسية من الاولى، وقد تم برهنة هذه الحدسية عام 2013

في الثقافة الشعبية[عدل]

  • حتى يكتسب الكتاب " Uncle Petros and Goldbach's Conjecture" الشهرة والذي كتبه أبوستولوس دوكسيادس، عرض الناشر البريطاني طوني فابر جائزة بقيمة 1000000 دولار لمن يبرهن الحدسية قبل ابريل 2002، الجائزة لم يحصل عليها أحد.
  • وفي الدراما التلفزيونية "Lewis" حصل عالم رياضيات على جائزة فيلدز لعمله على حدسية غولدباخ.
  • وفي القصة القصيرة لاسحاق اسيموف "Sixty Million Trillion Combinations" يذكر فيها أن عالم رياضيات شك أن اعماله على حدسية غولدباخ قد سرقت.
  • وفي الفلم الإسباني " (La habitación de Fermat (2007" اعلن رياضياتي شاب انه وجد برهان الحدسية.
  • وفي الكارتون " مغامرات جيمي نيوترون " قال جيمي في احدى الحلقات انه كان في وسط ايجاد برهان لحدسية غولدباخ.
  • وفي الفيلم "(The Calculus of Love (2011" كان هناك استاذ مهووس بايجاد برهان للحدسية.
  • وفي الفيلم الكوري "Perfect Number" استاذ رياضيات كان مهووسا بايجاد برهان للحدسية.

انظر أيضا[عدل]

مراجع[عدل]

مصادر[عدل]