حد ديديكايند

حد ديديكايند أو تقسيم ديديكايند لمجموعة مرتبة كليا S هي مزودجة (A,B) من أجزاء S بحيث: {A,B} تكون تجزئة ل S وكل عنصر من A أصغر (قطعا) من كل عنصر من B.

يوحي هذا التعريف بوجود "حد" يفصل بين A و B مما يفسر الاصطلاح. واستعمل هذا المفهوم أولا من طرف ريتشارد ديديكايند كطريقة لإنشاء الأعداد الحقيقية الغير جذرية.

سمي هكذا نسبة لعالم الرياضيات الألماني ريتشارد ديدكايند.

التعريف

لتكن S مجموعة مرتبة كليا، و A و B جزئين من S.$A \subset S$ و$B \subset S$

نقول أن المزدوجة (A,B) حد لديديكايند إذا كان:

1. $A \ne \empty, B \ne \empty$
2. $A \cap B = \empty$
3. $A \cup B = S$
4. $\forall x \in A, \forall y \in B, x<y$
5. $A$ لا تحتوي على أكبر عنصر.

الخاصيات 1 إلى 3 تفيد بأن {A,B} تجزئة ل S. مما يعني أن تحديد أحد الجزئين A أو B يكفي لتحديد الحد. إلا أننا نحتفظ بالجزئين معا ونرمز للحد بالزوج (A,B).

كما يمكن أن نعوض الخاصية 4 ب:

*A مغلق دنويا: $\forall a\in A, \forall x \in E, (x\le a \Rightarrow x\in A)$ 
*و B مغلق علويا: $\forall b\in B, \forall y \in E, (y\ge b \Rightarrow y\in B)$.

للحصول على تعريف مكافئ.

مقارنة حدين لديديكايند

لتكن S مجموعة مرتبة كليا. (A,B) و(X,Y) حدين لديديكايند. نعرف علاقة ترتيب > على $D$ مجموعة حدود ديديكايند ل S بما يلي :

$(A,B)<(X,Y) \Leftrightarrow A\subset X$.

نبين أن $(D,<)$ تكون مجموعة مرتبة كليا باستعمال هذا الترتيب. كما أن خاصية الكابر الأصغر محققة على $(D,<)$ (أي أن كل جزء مكبور يقبل كابرا دنويا).

يشكل $D$ امتدادا ل S بمعنى ان كل عنصر x من S يقابله عنصر من $D$ عبر التطبيق التبايني و"التشاكلي" (أي الذي يحافظ على علاقة الترتيب >) :

$x :-> (\{ a\in S | a < x \},\{ b\in S | x \le b \})$

ملاحظة : الخاصية 5 في التعريف تبين أن $(\{ a\in S | a\le x \},\{ b\in S | x < b \})$ ليست حدا لديديكايند.

بذلك نرى أن حدود ديديكايند تمكن من تمديد مجموعة مرتبة كليا إلى مجموعة مرتبة كليا تحقق خاصية الكابر الأصغر.

انظر أيضا

• متتالية كوشي