حد ديديكايند

من ويكيبيديا، الموسوعة الحرة

حد ديديكايند أو تقسيم ديديكايند لمجموعة مرتبة كليا S هي مزودجة (A,B) من أجزاء S بحيث: {A,B} تكون تجزئة ل S و كل عنصر من A أصغر (قطعا) من كل عنصر من B.

يوحي هذا التعريف بوجود "حد" يفصل بين A و B مما يفسر الإصطلاح. و استعمل هذا المفهوم أولا من طرف ريتشارد ديديكايند كطريقة لإنشاء الأعداد الحقيقية الغير جذرية.

[عدل] التعريف

لتكن S مجموعة مرتبة كليا,و A و B جزئين من S. و

نقول أن المزدوجة (A,B) حد لديديكايند إذا كان:

1. 
2. 
3. 
4. 
5. A لا تحتوي على أكبر عنصر.

الخاصيات 1 إلى 3 تفيد بأن {A,B} تجزئة ل S. مما يعني أن تحديد أحد الجزئين A أو B يكفي لتحديد الحد. إلا أننا نحتفظ بالجزئين معا و نرمز للحد بالزوج (A,B).

كما يمكن أن نعوض الخاصية 4 ب:

*A مغلق دنويا:  
*و B مغلق علويا: .

للحصول على تعريف مكافئ.

[عدل] مقارنة حدين لديديكايند

لتكن S مجموعة مرتبة كليا. (A,B) و (X,Y) حدين لديديكايند. نعرف علاقة ترتيب > على D مجموعة حدود ديديكايند ل S بما يلي :

.

نبين أن (D, < ) تكون مجموعة مرتبة كليا بإستعمال هذا الترتيب. كما أن خاصية الكابر الأصغر محققة على (D, < ) (أي أن كل جزء مكبور يقبل كابرا دنويا ).

يشكل D إمتدادا ل S بمعنى ان كل عنصر x من S يقابله عنصر من D عبر التطبيق التبايني و "التشاكلي" (أي الذي يحافظ على علاقة الترتيب > ) :

ملاحظة : الخاصية 5 في التعريف تبين أن  ليست حدا لديديكايند.

بذلك نرى أن حدود ديديكايند تمكن من تمديد مجموعة مرتبة كليا إلى مجموعة مرتبة كليا تحقق خاصية الكابر الأصغر.

[عدل] أمثلة لإستعمال حدود ديديكايند

هذه المقالة غير مصنّفة الرجاء المساعدة بتصنيف هذه المقالة، حتى تظهر في قائمة أو قوائم مع المقالات الأخرى الشبيهة. (لمزيد من المعلومات عن التصنيف) وسمت هذه المقالة منذ مايو 2009