حد ديديكايند

من ويكيبيديا، الموسوعة الحرة
اذهب إلى: تصفح، ‏ ابحث

حد ديديكايند أو تقسيم ديديكايند لمجموعة مرتبة كليا S هو زوج (A,B) من أجزاء S حيث : {A,B} تكون تجزئة ل S وكل عنصر من A أصغر (قطعا) من كل عنصر من B.

يوحي هذا التعريف بوجود "حد" يفصل بين A و B مما يفسر الاصطلاح. واستعمل هذا المفهوم أولا من طرف ريتشارد ديدكايند كطريقة لإنشاء الأعداد الحقيقية غير الجذرية. سمي هكذا نسبة لعالم الرياضيات الألماني ريتشارد ديدكايند.[بحاجة لمصدر]

التعريف[عدل]

لتكن S مجموعة مرتبة كليا، و A و B جزئين من S.A \subset S وB \subset S

نقول أن المزدوجة (A,B) حد لديديكايند إذا كان:

  1. A \ne \empty, B \ne \empty
  2. A \cap B = \empty
  3. A \cup B = S
  4. \forall x \in A, \forall y \in B, x<y
  5. A لا تحتوي على أكبر عنصر.

الخاصيات 1 إلى 3 تفيد بأن {A,B} تجزئة ل S. مما يعني أن تحديد أحد الجزئين A أو B يكفي لتحديد الحد. إلا أننا نحتفظ بالجزئين معا ونرمز للحد بالزوج (A,B).

كما يمكن أن نعوض الخاصية 4 ب:

*A مغلق دنويا: \forall a\in A, \forall x \in E, (x\le a \Rightarrow x\in A) 
*و B مغلق علويا: \forall b\in B, \forall y \in E, (y\ge b \Rightarrow y\in B).

للحصول على تعريف مكافئ.

مقارنة حدين لديديكايند[عدل]

لتكن S مجموعة مرتبة كليا. (A,B) و(X,Y) حدين لديديكايند. نعرف علاقة ترتيب > على D مجموعة حدود ديديكايند ل S بما يلي :

(A,B)<(X,Y) \Leftrightarrow A\subset X.

نبين أن (D,<) تكون مجموعة مرتبة كليا باستعمال هذا الترتيب. كما أن خاصية الكابر الأصغر محققة على (D,<) (أي أن كل جزء مكبور يقبل كابرا دنويا).

يشكل D امتدادا ل S بمعنى ان كل عنصر x من S يقابله عنصر من D عبر التطبيق التبايني و"التشاكلي" (أي الذي يحافظ على علاقة الترتيب >) :

 x :->  (\{ a\in S | a < x \},\{ b\in S | x \le b \})

ملاحظة
الخاصية 5 في التعريف تبين أن  (\{ a\in S | a\le x \},\{ b\in S | x < b \}) ليست حدا لديديكايند.

بذلك نرى أن حدود ديديكايند تمكن من تمديد مجموعة مرتبة كليا إلى مجموعة مرتبة كليا تحقق خاصية الكابر الأصغر.

أمثلة لاستعمال حدود ديديكايند[عدل]

انظر أيضا[عدل]