حذف غاوسي

من ويكيبيديا، الموسوعة الحرة
اذهب إلى: تصفح، ‏ ابحث

في الجبر الخطي، الحذف الغاوسي (بالإنكليزية: Gaussian elimination) خوارزمية مفيدة لحل منظومات من المعادلات الخطية وإيجاد رتبة مصفوفة وحساب معكوس مصفوفة مربعة انعكاسية. تم إعطاء هذا الاسم تقديرا للرياضياتي الألماني كارل فريدريك غاوس. يتم تطبيق عمليات الصف الأساسية لتخفيض المصفوفة على صورة مصفوفة مثلثية. يمكن تعميم هذه الخواريزمية باستخدام خذف غاوس جوردان، لتخفيض المصفوفة إلى صورة مصفوفة مثلثية مخفضة ومع ذلك فإن استعمال الحذف الغاوسي بمفرده كاف لأي تطبيق.

مثال[عدل]

لنفرض أن الغرض هو إيجاد ووصف الحل أو الحلول الممكنة إذا كان أي من نظام المعادلات الخطية التالية:


\begin{align}
2x + y - z & {} = 8 \quad & (L_1) \\
-3x - y + 2z & {} = -11 \quad & (L_2) \\
-2x + y + 2z & {} = -3 \quad  & (L_3)
\end{align}

تكون الخوارزمية كما يلي: إعزل x عن جميع المعادلات تحت L_1, ومن ثم إعزل y عن جميع المعادلات تحت L_2. هذا سيجعل النظام على صورة مثلثية. حينئذ، باستعمال التعويض الخلفي، يمكن حل كل واحدة غير معلومة.

في هذا المثال سوف يتم عزل x عنL_2 بإضافة \begin{matrix}\frac{3}{2}\end{matrix} L_1 إلى L_2, كما يتم عزل x عن L_3 بإضافة L_1 إلى L_3. بشكل رسمي:

L_2 + \frac{3}{2}L_1 \rightarrow L_2
L_3 + L_1 \rightarrow L_3

والنتيجة تكون:

2x + y - z = 8 \,
\frac{1}{2}y + \frac{1}{2}z = 1 \,
2y + z = 5 \,

والآن بعزل y عن L_3 بإضافة -4L_2 إلىL_3:

L_3 + -4L_2 \rightarrow L_3

تصبح النتيجة:

2x + y - z = 8 \,
\frac{1}{2}y + \frac{1}{2}z = 1 \,
-z = 1 \,

هذه النتيجة هي نظام معادلات خطية بالصورة المثلثية، وبالتالي يكون الجزء الأول من الخوارزمية قد اكتمل.

القسم الثاني وهو التعويض الخلفي. يتكون من حل المجاهيل في ترتيب عكسي. وعليه يمكن بسهولة ملاحظة أن

z = -1 \quad (L_3)

وعليه, z يمكن تعويضها في L_2, والتي يمكن حلها بسهولة لإيجاد

y = 3 \quad (L_2)

ثانيا, z وy يمكن تعويضها L_1, والتي يمكن حلها لإيجاد

x = 2 \quad (L_1)

وبالتالي تم حل النظام.

إنظر أيضاً[عدل]

Nuvola apps edu mathematics-ar.svg هذه بذرة مقالة عن الرياضيات تحتاج للنمو والتحسين، فساهم في إثرائها بالمشاركة في تحريرها.