حذف غاوس-جوردان

من ويكيبيديا، الموسوعة الحرة
اذهب إلى: تصفح، ‏ ابحث

في الجبر الخطي، يعتبر حذف غاوس-جوردان نسخة عن الحذف الغاوسي والذي يضع أصفارا فوق وتحت عنصر المحور عندما يتحرك من أعلى صف في المصفوفة المعطاة إلى الأسفل. أي أنه يعيد المصفوفة إلى الصورة المثلثية.

تعود التسمية إلى كارل فريدريك غاوس ووليام جوردان.

تطبيقات إيجاد المعكوس[عدل]

يمكن استعمال حذف غاوس-جوردان في المصفوفة المربعة لحساب معكوسها كما يلي.

[ A I ] \Rightarrow
A^{-1} [ A I ] \Rightarrow
[ I A^{-1} ].

إذا كانت المصفوفة المربعة الأصلية, A, معطاة بالتعبير:

 A =
\begin{bmatrix}
2 & -1 & 0 \\
-1 & 2 & -1 \\
0 & -1 & 2
\end{bmatrix}.

حينئذ يمكن بالاستعانة بمصفوفة الوحدة الحصول على:

 [ A I ] =
\begin{bmatrix}
2 & -1 & 0 & 1 & 0 & 0\\
-1 & 2 & -1 & 0 & 1 & 0\\
0 & -1 & 2 & 0 & 0 & 1
\end{bmatrix}.

وبتطبيق عمليات الصف الأساسية على [ A I ] المصفوفة حتى تصل A صورة الصف المخفض يمكن في النهاية الحصول على النتيجة:

 [ I A^{-1} ] =
\begin{bmatrix}
1 & 0 & 0 & \frac{3}{4} & \frac{1}{2} & \frac{1}{4}\\
0 & 1 & 0 & \frac{1}{2} & 1 & \frac{1}{2}\\
0 & 0 & 1 & \frac{1}{4} & \frac{1}{2} & \frac{3}{4}
\end{bmatrix}.

والان بعكس الوسيط, يمكن الحصول على:

 I =
\begin{bmatrix}
1 & 0 & 0 \\
0 & 1 & 0 \\
0 & 0 & 1
\end{bmatrix}\qquad
 A^{-1} =
\begin{bmatrix}
\frac{3}{4} & \frac{1}{2} & \frac{1}{4}\\
\frac{1}{2} & 1 & \frac{1}{2}\\
\frac{1}{4} & \frac{1}{2} & \frac{3}{4}
\end{bmatrix}.

c++ code for matrix inverse[عدل]

#include <cstdlib>
double** gauss(double **matrix, int diminsion)
{
    double **inverse;
    inverse = (double**) malloc(diminsion * sizeof (double *));
    for (int i = 0; i <diminsion; i++)
        inverse[i] = (double*) malloc(diminsion * sizeof (double));
 
 
    for (int i = 0; i <diminsion; i++)
        for (int j = 0; j <diminsion; j++)
            inverse[i][j] = 0;
 
    for (int i = 0; i <diminsion; i++)
        inverse[i][i] = 1;
 
    for (int k = 0; k <diminsion; k++)
    {
        for (int i = k; i <diminsion; i++)
        {
            double val = matrix[i][k];
            for (int j = k; j <diminsion; j++)
                matrix[i][j] /= val;
            for (int j = 0; j <diminsion; j++)
                inverse[i][j] /= val;
        }
        for (int i = k + 1; i <diminsion; i++)
        {
            for (int j = k; j <diminsion; j++)
                matrix[i][j] -= matrix[k][j];
            for (int j = 0; j <diminsion; j++)
                inverse[i][j] -= inverse[k][j];
        }
    }
 
    for (int i = diminsion - 2; i>= 0; i--)
    {
        for (int j = diminsion - 1; j> i; j--)
        {
            for (int k = 0; k <diminsion; k++)//this part can be can canceled (the two lines)
                inverse[i][k] -= matrix[i][j] * inverse[j][k]; //
            for (int k = 0; k <diminsion; k++)//this part can be can canceled (the two lines)
                matrix[i][k] -= matrix[i][j] * matrix[j][k]; //
        }
    }
    return inverse;
}
Nuvola apps edu mathematics-ar.svg هذه بذرة مقالة عن الرياضيات بحاجة للتوسيع. شارك في تحريرها.