حركة جسيم في بعد واحد

حركة جسيم في بعد واحد (بالإنجليزي: Particle in a one-dimensional lattice)

سوف نناقش حركة الأيونات الموجبة في بعد واحد بافتراض أن البعد بين أيون وآخر يساوي فرق جهد(كمون) الشبيكة

التمثيل الرياضي للكمون هو دالة دورية خلال الفترة a , يتم حلها بواسطة نظرية بلوخ , فيكون حل الدالة الموجية في معادلة شرودنجرهو :

$\psi (x) = e^{ikx} u(x). \,\!$

حيث أن : u(x) دالة دورية بشرط أن : $u(x+a)=u(x) \,\!$

نطبق شروط بورن فون - كرمان الحدية عند أطراف الشبيكة , بفرض أن L طول الشبيكة بالتالي L >> a وهذا يؤدي إلى أن يكون عدد الأيونات(N) كبير جدا داخل الشبيكة بالتالي حركة الأيون تكون خطية وداله الموجية ثابته تقريبا , فيكون لدينا شرط حدي واحد :

$\psi (0)=\psi (L). \,\!$

يمكننا الآن استبدال الحدود استنادا للعلاقة aN = L , وتطبيق نظرية بلوخ ..بالتالي يمكن تكميم العدد الموجي k

$\psi (0) = e^{ik \cdot 0} u(0) = e^{ikL} u(L) = \psi (L) \,\!$

$u(0) = e^{ikL} u(N a) \rightarrow e^{ikL} = 1 \,\!$

$\Rightarrow kL = 2\pi n \rightarrow k = {2\pi \over L} n \qquad \left( n=0, \pm 1, \pm 2, ..., \pm {N \over 2} \right). \,\!$

نموذج كرونيج - بيني[عدل]

يفسر هذا النموذج حركة الكترونات التوصيل بين حاجز جهد مستطيل تحت تأثير فرق جهد دوري , فتكون دالة الجهد تساوي تقريبا فرق الجهد للمستطيل :

وباستخدام نظرية بلوخ لإيجاد حل الدالة على فترة واحدة

$For \quad -\frac {1}{2}(a-b) <x<\frac {1} {2}(a-b) : \,\!$

${-\hbar^2 \over 2m} \psi_{xx} = E \psi \,\!$

$\Rightarrow \psi = A e^{i \alpha x} + A' e^{-i \alpha x} \quad \left( \alpha^2 = {2mE \over \hbar^2} \right) \,\!$

$For \quad -\frac {1}{2}(a+b)<x<-\frac {1}{2}(a-b) : \,\!$

${-\hbar^2 \over 2m} \psi_{xx} = (E+V_0)\psi \,\!$

$\Rightarrow \psi = B e^{i \beta x} + B' e^{-i \beta x} \quad \left( \beta^2 = {2m(E+V_0) \over \hbar^2} \right). \,\!$

ولإيجاد الدالة لجميع الفترات u(x) نقوم بحل الدالة الموجية

$\psi(0<x<a-b) = A e^{i \alpha x} + A' e^{-i \alpha x} = e^{ikx} \cdot \left( A e^{i (\alpha-k) x} + A' e^{-i (\alpha+k) x} \right) \,\!$

$\Rightarrow u(0<x<a-b)=A e^{i (\alpha-k) x} + A' e^{-i (\alpha+k) x}. \,\!$

وبنفس الطريقة

$u(-b<x<0)=B e^{i (\beta-k) x} + B' e^{-i (\beta+k) x}. \,\!$

$\psi(0^{-})=\psi(0^{+}) \qquad \psi'(0^{-})=\psi'(0^{+}). \,\!$

$u(-b)=u(a-b) \qquad u'(-b)=u'(a-b). \,\!$

فتكون المصفوفة

$\begin{pmatrix} 1 & 1 & -1 & -1 \\ \alpha & -\alpha & -\beta & \beta \\ e^{i(\alpha-k)(a-b)} & e^{-i(\alpha+k)(a-b)} & -e^{-i(\beta-k)b} & -e^{i(\beta+k)b} \\ (\alpha-k)e^{i(\alpha-k)(a-b)} & -(\alpha+k)e^{-i(\alpha+k)(a-b)} & -(\beta-k)e^{-i(\beta-k)b} & (\beta+k)e^{i(\beta+k)b} \end{pmatrix} \begin{pmatrix} A \\ A' \\ B \\ B' \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}. \,\!$