حساب التغيرات

من ويكيبيديا، الموسوعة الحرة
اذهب إلى: تصفح، ‏ ابحث

يرتبط حساب التغيرات بفرع التحليل الدالي. ويعنى تحديدا بدراسة الدوال (أي التطبيقات التي يكون مستقرها R أو C) التي يكون منطلقها فضاء متجهي دالي (فضاء عناصره عبارة عن دوال) أو بصيغة أخرى دراسة التابعيات المعرفة على فضاءات الدوال.

الهدف من حساب التغيرات هو إيجاد القيم القصوى (الدنيا أو العليا) لتابعي معين وكذا الدوال (من مجموعة الانطلاق) التي تحقق هذه القيم. مثال على ذلك إيجاد مسار الضوء بين نقطتين أي أسرع طريق, حيث التابعي الذي يجب دراسته في هذا المثال هو التابعي الذي يربط كل طريق (معرف كدالة) بالزمن المستغرق.

معادلة أويلر–لاغرانج[عدل]

المبرهنة التالية تمكن من حل العديد من مسائل حساب التغيرات وتحمل اسم أويلر–لاغرانج.

ليكن J تابعي معرف ب :

J(x) = \int_{t_0}^{t_1} f \left(t,  x \left(t \right), \dot x\left(t\right) \right) \, \mathrm dt = \int_{t_0}^{t_1} f \left(t, x \left(t \right), \frac{\partial x\left(t\right)}{\partial t} \right) \, \mathrm dt

حيث f تقبل مشتقات متصلة من الدرجة الأولى (أي C^1      f).

لكي تحقق x قيمة قصوية يجب أن تحقق المعادلة التالية (شرط لازم) :

\frac{\partial f}{\partial x}-\frac{\mathrm d}{ \mathrm dt}\left(\frac{\partial f}{\partial \dot x} \right) = 0.
Nuvola apps edu mathematics-ar.svg هذه بذرة مقالة عن الرياضيات تحتاج للنمو والتحسين، فساهم في إثرائها بالمشاركة في تحريرها.