حساب التغيرات

من ويكيبيديا، الموسوعة الحرة

يرتبط حساب التغيرات بفرع التحليل الدالي. و يعنى تحديدا بدراسة الدوال (أي التطبيقات التي يكون مستقرها R أو C ) التي يكون منطلقها فضاء متجهي دالي (فضاء عناصره عبارة عن دوال) أو بصيغة أخرى دراسة التابعيات المعرفة على فضاءات الدوال.

الهدف من حساب التغيرات هو إيجاد القيم القصوى (الدنيا أو العليا) لتابعي معين و كذا الدوال (من مجموعة الانطلاق) التي تحقق هذه القيم. مثال على ذلك إيجاد مسار الضوء بين نقطتين أي أسرع طريق, حيث التابعي الذي يجب دراسته في هذا المثال هو التابعي الذي يربط كل طريق (معرف كدالة) بالزمن المستغرق.

[عدل] معادلة Euler–Lagrange

المبرهنة التالية تمكن من حل العديد من مسائل حساب التغيرات و تحمل اسم Euler–Lagrange.

ليكن J تابعي معرف ب :

$J(x) = \int_{t_0}^{t_1} f \left( t, x \left(t \right), \dot x\left(t\right) \right) \, \mathrm dt = \int_{t_0}^{t_1} f \left( t, x \left(t \right), \frac{\partial x\left(t\right)}{\partial t} \right) \, \mathrm dt$