حقل (رياضيات)

من ويكيبيديا، الموسوعة الحرة
(بالتحويل من حقل رياضي)
اذهب إلى: تصفح، ‏ ابحث

في الجبر التجريدي، حقل (بالإنكليزية: Field) هو حلقة تبادلية تحتوي على معاكس جدائي لكل عنصر من عناصرها المختلفة عن الصفر. وبشكل مكافئ، حقل هو حلقة تُكون عناصرها المختلفة عن الصفر زمرة أبيلية تحت عملية الجداء.

يرمز له F\! يرمز له أحيانا \{F,+,\times\} هو مجموعة من العناصر مزودة بعمليتين ثنائيتين هما الجمع +\! والجداء \times بحيث تحقق البديهيات التالية:

  1. \{F,+,\times\} حلقة تبديلية.
  2. حيادي الجداء: \exists 1 \in F: a1 = 1a = a \ \forall a \in F
  3. لا تقبل القسمة على صفر: \forall a, b \in F \land ab = 0: a=0 \lor b=0
  4. المتمم بالنسبة للجداء: \forall a \in F\setminus\{0\}, \ \exists a^{-1} \in F: aa^{-1} = (a^{-1})a=1

مثال على الحقل هي مجموعة الأعداد الحقيقية أما مجموعة الأعداد الصحيحية فليست حقلا لأنها لا تحقق شرط المتمم بالنسبة للجداء إلا لعنصرين هما 1 و-1.

تعريف وتوضيح[عدل]

المثال الأول: الأعداد الجذرية[عدل]

انظر إلى كسر.

\frac{b}{a} \cdot \frac{a}{b} = \frac{ba}{ab} = 1.

المثال الثاني: حقل مكون من أربعة عناصر[عدل]

+ O I A B
O O I A B
I I O B A
A A B O I
B B A I O
· O I A B
O O O O O
I O I A B
A O A B I
B O B I A

التاريخ[عدل]

استعمل مفهوم الحقل بصفة ضمنية (أي بصفة غير مباشرة) عالما الرياضيات نيلس هنريك أبيل وإيفاريست غالوا في عملهما حول قابلية حلحلة معادلات متعددات الحدود بمعاملات جذرية وبدرجات تساوي الخمسة أو تفوقها.

أمثلة[عدل]

الأعداد القابلة للإنشاء[عدل]

عندما تكون الأعداد 0 و 1 و r1 و r2 معلومة، فإن هذا الشكل يمكن من إنشاء r1·r2

انظر عدد قابل للإنشاء.

الحقول المنتهية[عدل]

الحقول المنتهية، وقد تسمى حقول غالوا، هي حقول لها عدد منته من العناصر.

بعض المبرهنات الأولى[عدل]

نظرية غالوا[عدل]

تعتبر من أهم نظريات الجبر

تعميمات[عدل]

تطبيقات[عدل]

انظر أيضا[عدل]

مراجع[عدل]

وصلات خارجية[عدل]

Nuvola apps edu mathematics-ar.svg هذه بذرة مقالة عن الرياضيات بحاجة للتوسيع. شارك في تحريرها.