حقل منته

من ويكيبيديا، الموسوعة الحرة
اذهب إلى: تصفح، ‏ ابحث

في الجبر التجريدي، حقل منته (بالإنجليزية: Finite fields) أو حقل غالوا نسبة للعالم الفرنسي إيفاريست جالوا هو حقل يحتوي على عدد منته من العناصر. الحقول المنتهية مهمة جدا في نظرية الأعداد والهندسة الجبرية ونظرية غالوا والتشفير ونظرية الترميز غيرها. تُصنف الحقول المنتهية حسب عدد عناصرها.

تظهر الحقول المنتهية في سلسلة انتماء الأصناف كما يلي:

الحلقات التبادلية ⊃ integral domains ⊃ integrally closed domains ⊃ unique factorization domains ⊃ principal ideal domains ⊃ Euclidean domains ⊃ الحقولالحقول المنتهية.

تصنيف[عدل]

تُصنف الحقول المنتهية كما يلي:

  • رتبة حقل ما، (أي عدد عناصره) تكون على الشكل pn حيث p عدد أولي يسمى مميزة الحقل وحيث n عدد صحيح موجب.
  • لكل عدد أولي p وعدد صحيح موجب n، يوجد حقل منته عدد عناصره pn.
  • حقلان منتهيان لهما نفس عدد العناصر هما متساويي الشكل. وبتعبير آخر، بتغيير اسم عناصر الحقل المنتهي الأول، يصير جدولا الجمع والضرب متطابقين مع جدولي الجمع والضرب للحقل المنتهي الثاني.

أمثلة[عدل]

إنشاء الحقول المنتهية[عدل]

انظر إلى قوة عدد أولي.

أمثلة[عدل]

متعددة الحدود f(T) = T 2 + T + 1 هي متعددة حدود غير قابلة للاختزال في المجموعة Z/2Z.

تطبيقات[عدل]

بعض من الحقول المنتهية الصغيرة[عدل]

F2:

+ 0 1
0 0 1
1 1 0
× 0 1
0 0 0
1 0 1

F3:

+ 0 1 2
0 0 1 2
1 1 2 0
2 2 0 1
× 0 1 2
0 0 0 0
1 0 1 2
2 0 2 1

F4:

+ 0 1 A B
0 0 1 A B
1 1 0 B A
A A B 0 1
B B A 1 0
× 0 1 A B
0 0 0 0 0
1 0 1 A B
A 0 A B 1
B 0 B 1 A
حقل مكون من 8 عناصر ممثَل على شكل مصفوفات. الأعداد الصحيحة are بتردد 2.

العنصر (0)     العنصر (1)     العنصر (2)     العنصر (3)

  0  0  0         1  0  0         0  1  0         0  0  1
  0  0  0         0  1  0         0  0  1         1  1  0
  0  0  0         0  0  1         1  1  0         0  1  1

العنصر (4)     العنصر (5)     العنصر (6)     العنصر (7)

  1  1  0         0  1  1         1  1  1         1  0  1
  0  1  1         1  1  1         1  0  1         1  0  0
  1  1  1         1  0  1         1  0  0         0  1  0

+/  (0) (1) (2) (3) (4) (5) (6) (7)
(0)  0   1   2   3   4   5   6   7
(1)  1   0   4   7   2   6   5   3
(2)  2   4   0   5   1   3   7   6
(3)  3   7   5   0   6   2   4   1
(4)  4   2   1   6   0   7   3   5
(5)  5   6   3   2   7   0   1   4
(6)  6   5   7   4   3   1   0   2
(7)  7   3   6   1   5   4   2   0

x/  (0) (1) (2) (3) (4) (5) (6) (7)
(0)  0   0   0   0   0   0   0   0
(1)  0   1   2   3   4   5   6   7
(2)  0   2   3   4   5   6   7   1
(3)  0   3   4   5   6   7   1   2
(4)  0   4   5   6   7   1   2   3
(5)  0   5   6   7   1   2   3   4
(6)  0   6   7   1   2   3   4   5
(7)  0   7   1   2   3   4   5   6

_________________________________________________________

حقل مكون من 9 عناصر ممثَل على شكل مصفوفات. الأعداد الصحيحة are بتردد 3

العنصر (0)     العنصر (1)     العنصر (2)

  0  0            1  0            0  1
  0  0            0  1            1  1

العنصر (3)     العنصر (4)     العنصر (5)

  1  1            1  2            2  0
  1  2            2  0            0  2

العنصر (6)     العنصر (7)     العنصر (8)

  0  2            2  2            2  1
  2  2            2  1            1  0

+/  (0) (1) (2) (3) (4) (5) (6) (7) (8)
(0)  0   1   2   3   4   5   6   7   8
(1)  1   5   3   8   7   0   4   6   2
(2)  2   3   6   4   1   8   0   5   7
(3)  3   8   4   7   5   2   1   0   6
(4)  4   7   1   5   8   6   3   2   0
(5)  5   0   8   2   6   1   7   4   3
(6)  6   4   0   1   3   7   2   8   5
(7)  7   6   5   0   2   4   8   3   1
(8)  8   2   7   6   0   3   5   1   4

x/  (0) (1) (2) (3) (4) (5) (6) (7) (8)
(0)  0   0   0   0   0   0   0   0   0
(1)  0   1   2   3   4   5   6   7   8
(2)  0   2   3   4   5   6   7   8   1
(3)  0   3   4   5   6   7   8   1   2
(4)  0   4   5   6   7   8   1   2   3
(5)  0   5   6   7   8   1   2   3   4
(6)  0   6   7   8   1   2   3   4   5
(7)  0   7   8   1   2   3   4   5   6
(8)  0   8   1   2   3   4   5   6   7

_________________________________________________________

F16 يُمثل بمتعددات الحدود a + b x + c x2 + d x3.
a, b, c, و d are أعداد صحيحة modulo 2
تُولد متعددات الحدود بقوى x باستعمال القاعدة x4 = 1 + x

e ( 0)        e ( 1)        e ( 2)        e ( 3)
[ 0  0  0  0] [ 1  0  0  0] [ 0  1  0  0] [ 0  0  1  0]

e ( 4)        e ( 5)        e ( 6)        e ( 7)
[ 0  0  0  1] [ 1  1  0  0] [ 0  1  1  0] [ 0  0  1  1]

e ( 8)        e ( 9)        e (10)        e (11)
[ 1  1  0  1] [ 1  0  1  0] [ 0  1  0  1] [ 1  1  1  0]

e (12)        e (13)        e (14)        e (15)
[ 0  1  1  1] [ 1  1  1  1] [ 1  0  1  1] [ 1  0  0  1]

+/   0_ 1_ 2_ 3_ 4_ 5_ 6_ 7_ 8_ 9_10_11_12_13_14_15_
 0_  0  1  2  3  4  5  6  7  8  9 10 11 12 13 14 15
 1_  1  0  5  9 15  2 11 14 10  3  8  6 13 12  7  4
 2_  2  5  0  6 10  1  3 12 15 11  4  9  7 14 13  8
 3_  3  9  6  0  7 11  2  4 13  1 12  5 10  8 15 14
 4_  4 15 10  7  0  8 12  3  5 14  2 13  6 11  9  1
 5_  5  2  1 11  8  0  9 13  4  6 15  3 14  7 12 10
 6_  6 11  3  2 12  9  0 10 14  5  7  1  4 15  8 13
 7_  7 14 12  4  3 13 10  0 11 15  6  8  2  5  1  9
 8_  8 10 15 13  5  4 14 11  0 12  1  7  9  3  6  2
 9_  9  3 11  1 14  6  5 15 12  0 13  2  8 10  4  7
10_ 10  8  4 12  2 15  7  6  1 13  0 14  3  9 11  5
11_ 11  6  9  5 13  3  1  8  7  2 14  0 15  4 10 12
12_ 12 13  7 10  6 14  4  2  9  8  3 15  0  1  5 11
13_ 13 12 14  8 11  7 15  5  3 10  9  4  1  0  2  6
14_ 14  7 13 15  9 12  8  1  6  4 11 10  5  2  0  3
15_ 15  4  8 14  1 10 13  9  2  7  5 12 11  6  3  0

x/   0_ 1_ 2_ 3_ 4_ 5_ 6_ 7_ 8_ 9_10_11_12_13_14_15_
 0_  0  0  0  0  0  0  0  0  0  0  0  0  0  0  0  0
 1_  0  1  2  3  4  5  6  7  8  9 10 11 12 13 14 15
 2_  0  2  3  4  5  6  7  8  9 10 11 12 13 14 15  1
 3_  0  3  4  5  6  7  8  9 10 11 12 13 14 15  1  2
 4_  0  4  5  6  7  8  9 10 11 12 13 14 15  1  2  3
 5_  0  5  6  7  8  9 10 11 12 13 14 15  1  2  3  4
 6_  0  6  7  8  9 10 11 12 13 14 15  1  2  3  4  5
 7_  0  7  8  9 10 11 12 13 14 15  1  2  3  4  5  6
 8_  0  8  9 10 11 12 13 14 15  1  2  3  4  5  6  7
 9_  0  9 10 11 12 13 14 15  1  2  3  4  5  6  7  8
10_  0 10 11 12 13 14 15  1  2  3  4  5  6  7  8  9
11_  0 11 12 13 14 15  1  2  3  4  5  6  7  8  9 10
12_  0 12 13 14 15  1  2  3  4  5  6  7  8  9 10 11
13_  0 13 14 15  1  2  3  4  5  6  7  8  9 10 11 12
14_  0 14 15  1  2  3  4  5  6  7  8  9 10 11 12 13
15_  0 15  1  2  3  4  5  6  7  8  9 10 11 12 13 14

_________________________________________________________

F25 ممثَل بالأعداد a + b√2, a و b are أعداد صحيحة بتردد 5
تُولد بقوى  2 + √2

e ( 0) e ( 1) e ( 2) e ( 3) e ( 4)
0 + 0√2 1 + 0√2 2 + 1√2 1 + 4√2 0 + 4√2
e ( 5) e ( 6) e ( 7) e ( 8) e ( 9)
3 + 3√2 2 + 4√2 2 + 0√2 4 + 2√2 2 + 3√2
e (10) e (11) e (12) e (13) e (14)
0 + 3√2 1 + 1√2 4 + 3√2 4 + 0√2 3 + 4√2
e (15) e (16) e (17) e (18) e (19)
4 + 1√2 0 + 1√2 2 + 2√2 3 + 1√2 3 + 0√2
e (20) e (21) e (22) e (23) e (24)
1 + 3√2 3 + 2√2 0 + 2√2 4 + 4√2 1 + 2√2
+/   0_ 1_ 2_ 3_ 4_ 5_ 6_ 7_ 8_ 9_10_11_12_13_14_15_16_17_18_19_20_21_22_23_24_
 0_  0  1  2  3  4  5  6  7  8  9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24
 1_  1  7 18  6  3 12 14 19 22  5 20  2 10  0 23 16 11 21 15 13  9  8 24  4 17
 2_  2 18  8 19  7  4 13 15 20 23  6 21  3 11  0 24 17 12 22 16 14 10  9  1  5
 3_  3  6 19  9 20  8  5 14 16 21 24  7 22  4 12  0  1 18 13 23 17 15 11 10  2
 4_  4  3  7 20 10 21  9  6 15 17 22  1  8 23  5 13  0  2 19 14 24 18 16 12 11
 5_  5 12  4  8 21 11 22 10  7 16 18 23  2  9 24  6 14  0  3 20 15  1 19 17 13
 6_  6 14 13  5  9 22 12 23 11  8 17 19 24  3 10  1  7 15  0  4 21 16  2 20 18
 7_  7 19 15 14  6 10 23 13 24 12  9 18 20  1  4 11  2  8 16  0  5 22 17  3 21
 8_  8 22 20 16 15  7 11 24 14  1 13 10 19 21  2  5 12  3  9 17  0  6 23 18  4
 9_  9  5 23 21 17 16  8 12  1 15  2 14 11 20 22  3  6 13  4 10 18  0  7 24 19
10_ 10 20  6 24 22 18 17  9 13  2 16  3 15 12 21 23  4  7 14  5 11 19  0  8  1
11_ 11  2 21  7  1 23 19 18 10 14  3 17  4 16 13 22 24  5  8 15  6 12 20  0  9
12_ 12 10  3 22  8  2 24 20 19 11 15  4 18  5 17 14 23  1  6  9 16  7 13 21  0
13_ 13  0 11  4 23  9  3  1 21 20 12 16  5 19  6 18 15 24  2  7 10 17  8 14 22
14_ 14 23  0 12  5 24 10  4  2 22 21 13 17  6 20  7 19 16  1  3  8 11 18  9 15
15_ 15 16 24  0 13  6  1 11  5  3 23 22 14 18  7 21  8 20 17  2  4  9 12 19 10
16_ 16 11 17  1  0 14  7  2 12  6  4 24 23 15 19  8 22  9 21 18  3  5 10 13 20
17_ 17 21 12 18  2  0 15  8  3 13  7  5  1 24 16 20  9 23 10 22 19  4  6 11 14
18_ 18 15 22 13 19  3  0 16  9  4 14  8  6  2  1 17 21 10 24 11 23 20  5  7 12
19_ 19 13 16 23 14 20  4  0 17 10  5 15  9  7  3  2 18 22 11  1 12 24 21  6  8
20_ 20  9 14 17 24 15 21  5  0 18 11  6 16 10  8  4  3 19 23 12  2 13  1 22  7
21_ 21  8 10 15 18  1 16 22  6  0 19 12  7 17 11  9  5  4 20 24 13  3 14  2 23
22_ 22 24  9 11 16 19  2 17 23  7  0 20 13  8 18 12 10  6  5 21  1 14  4 15  3
23_ 23  4  1 10 12 17 20  3 18 24  8  0 21 14  9 19 13 11  7  6 22  2 15  5 16
24_ 24 17  5  2 11 13 18 21  4 19  1  9  0 22 15 10 20 14 12  8  7 23  3 16  6

x/   0_ 1_ 2_ 3_ 4_ 5_ 6_ 7_ 8_ 9_10_11_12_13_14_15_16_17_18_19_20_21_22_23_24_
 0_  0  0  0  0  0  0  0  0  0  0  0  0  0  0  0  0  0  0  0  0  0  0  0  0  0
 1_  0  1  2  3  4  5  6  7  8  9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24
 2_  0  2  3  4  5  6  7  8  9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24  1
 3_  0  3  4  5  6  7  8  9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24  1  2
 4_  0  4  5  6  7  8  9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24  1  2  3
 5_  0  5  6  7  8  9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24  1  2  3  4
 6_  0  6  7  8  9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24  1  2  3  4  5
 7_  0  7  8  9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24  1  2  3  4  5  6
 8_  0  8  9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24  1  2  3  4  5  6  7
 9_  0  9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24  1  2  3  4  5  6  7  8
10_  0 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24  1  2  3  4  5  6  7  8  9
11_  0 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24  1  2  3  4  5  6  7  8  9 10
12_  0 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24  1  2  3  4  5  6  7  8  9 10 11
13_  0 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24  1  2  3  4  5  6  7  8  9 10 11 12
14_  0 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24  1  2  3  4  5  6  7  8  9 10 11 12 13
15_  0 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24  1  2  3  4  5  6  7  8  9 10 11 12 13 14
16_  0 16 17 18 19 20 21 22 23 24  1  2  3  4  5  6  7  8  9 10 11 12 13 14 15
17_  0 17 18 19 20 21 22 23 24  1  2  3  4  5  6  7  8  9 10 11 12 13 14 15 16
18_  0 18 19 20 21 22 23 24  1  2  3  4  5  6  7  8  9 10 11 12 13 14 15 16 17
19_  0 19 20 21 22 23 24  1  2  3  4  5  6  7  8  9 10 11 12 13 14 15 16 17 18
20_  0 20 21 22 23 24  1  2  3  4  5  6  7  8  9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19
21_  0 21 22 23 24  1  2  3  4  5  6  7  8  9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20
22_  0 22 23 24  1  2  3  4  5  6  7  8  9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21
23_  0 23 24  1  2  3  4  5  6  7  8  9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22
24_  0 24  1  2  3  4  5  6  7  8  9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23

انظر أيضا[عدل]

مراجع[عدل]

وصلات خارجية[عدل]