حلم الطالب المبتدئ

إن حلم الطالب المبتدئ freshman's dream هو اسم يعطى في بعض الأحيان على الخطأ $(x+y)^n=x^n+y^n$ , التي تحدث بشكل شائع بين الطلاب المبتدئين. عندما تكون $n=2$, فيسهل فهم لما هي خطأ: $(x+y)^2$ يمكن أن تحسب بشكل صحيح بطريقة FOIL و يكون الناتج $x^2+2xy+y^2$. و بالنسبة لقيم $n$الكبرى, تعطى الناتج الصحيح بواسطة مبرهنة ثنائية الحد.

يعطى هذا الاسم في بعض الأحيان لتكون مبرهنة التي تقول بأن $(x+y)^p=x^p+y^p$ إذا كانت $x$ و $y$ هما أحد أعضاء الحقل للخاصية $p$; في هذه الحالة, هذا "الخطأ" تعطي في الواقع النتيجة الصحيحة, ذلك بسبب تشاكل فروبنيوس التلقائي automorphism.

برهان

تكون البرهان عند تطبيق مبرهنة ثنائية الحد. و نثبتها أولاً بالنسبة للمتغير $p$. $(x+y)^{p}=\sum_{i=0}^p \binom{p}{i} x^{i} y^{p-i}$. لاحظ الآن

.$\binom{p}{i}=\frac{p!}{(p-i)!i!}=p\!\cdot\!\frac{(p-1)!}{(p-i)! i!}$

عندما يكون $p$ عدد أولي و $1\leq i\leq p-1$ تتبع $i!$ و $(p-i)!$ لا تقسم $p$. كما لدى حقل $K$ خاصية $p$, و تكون $\frac{(p-1)!}{(p-i)!i!}$ هو العدد الصحيح $m$ حيث أن $\binom{p}{i}=pm\equiv 0$ . لذا $(x+y)^p=x^p+y^p$.

و الآن نستعمل الاستقراء induction للمتغير $p^i$: $(x+y)^{p^i}=((x+y)^p)^{p^{i-1}}=(x^p+y^p)^{p^{i-1}} =x^{p^i}+y^{p^i}$.

شاهد أيضاً

• حلم الطالب الجامعي Sophomore's dream