حلم الطالب المبتدئ

من ويكيبيديا، الموسوعة الحرة
اذهب إلى: تصفح، ‏ ابحث

حلم الطالب المبتدئ (بالإنكليزية: freshman's dream) هو اسم يعطى في بعض الأحيان على الخطأ (x+y)^n=x^n+y^n , التي تحدث بشكل شائع بين الطلاب المبتدئين[1]. عندما تكون n=2, يسهل فهم لما هي خطأ: (x+y)^2 يمكن أن تحسب بشكل صحيح بطريقة FOIL و يكون الناتج x^2+2xy+y^2. و بالنسبة لقيم nالكبرى, تعطى الناتج الصحيح بواسطة مبرهنة ثنائية الحد.

يعطى هذا الاسم في بعض الأحيان لتكون مبرهنة التي تقول بأن (x+y)^p=x^p+y^p إذا كانت x و y هما أحد أعضاء الحقل للخاصية p; في هذه الحالة, هذا "الخطأ" تعطي في الواقع النتيجة الصحيحة, ذلك بسبب تشاكل فروبنيوس التلقائي automorphism.


برهان[عدل]

تكون البرهان عند تطبيق مبرهنة ثنائية الحد. و نثبتها أولاً بالنسبة للمتغير p. (x+y)^{p}=\sum_{i=0}^p \binom{p}{i} x^{i} y^{p-i}. لاحظ الآن

.\binom{p}{i}=\frac{p!}{(p-i)!i!}=p\!\cdot\!\frac{(p-1)!}{(p-i)! i!}

عندما يكون p عدد أولي و 1\leq i\leq p-1 تتبع i! و (p-i)! لا تقسم p. كما لدى حقل K خاصية p, و تكون \frac{(p-1)!}{(p-i)!i!} هو العدد الصحيح m حيث أن \binom{p}{i}=pm\equiv 0 . لذا (x+y)^p=x^p+y^p.

و الآن نستعمل الاستقراء induction للمتغير p^i: (x+y)^{p^i}=((x+y)^p)^{p^{i-1}}=(x^p+y^p)^{p^{i-1}} =x^{p^i}+y^{p^i}. [2]


انظر أيضاً[عدل]

مراجع[عدل]

  1. ^ Julio R. Bastida, Field Extensions and Galois Theory, Addison-Wesley Publishing Company, 1984, p.8.
  2. ^ PlanetMath freshman's dream
Nuvola apps edu mathematics-ar.svg هذه بذرة مقالة عن موضوع له علاقة بالجبر تحتاج للنمو والتحسين، فساهم في إثرائها بالمشاركة في تحريرها.