دائرة مقاومة ومكثف

من ويكيبيديا، الموسوعة الحرة
اذهب إلى: تصفح، ‏ ابحث

دائرة مقاومة ومكثف ، بالإنجليزية Resistor-capacitor circuit أو (RC Circuit) أو (RC Filter) هي دائرة كهربية تحتوي على مقاومات ومكثفات وتعمل بالتيار المتردد. أبسط أنواع تلك الدوائر تحتوي على مقاومة واحدة ومكثف واحد. تستعمل كثيرا في الدوائر الكهربائية والإلكترونيات كمرشح. وتبين الصورة ثلاثة مقاومات مختلفة، وتدل مجموعة الحلقات الملونة المرسومة عليها على قيمتها بالأوم.

ثلاثة مقاومات مختلفة، يعين لون الحلقات المرسومة عليها مقدار المقاومة بالأوم.

مقدمة[عدل]

توجد أساسا ثلاثة أنواع من الأجزاء التي تعمل كامنة وخطية في الدوائر الكهربية : المقاومة (R) والمكثف (C) والمستحث (L). ويمكن أن توصل هذه المكونات في تشكيلات : دائرة مقاومة ومكثف RC circuitو دائرة مقاومة ومستحث RL circuit ودائرة مستحث ومكثف LC circuit أو دائرة مقاومة ومستحث ومكثف RLC circuit. وتتبوء تلك الأنواع من الدوائر الكهربية مركزا مهما في الإلكترونيات التناظرية analog electronics. وهي تعمل على الأخص كمرشحات كامنة. هذه المقالة تتعلق بنوع دائرة المقاومة ومكثف. تعتمد تلك المقالة على معرفة سابقة بالخواص المركبة لمكونات تلك الدوائر، ومعرفة بالتيار الكهربائي المتردد وتمثيل الإشارات.

الممانعة المركبة[عدل]

تزيد المقاومة المكافئة لمكثف بزيادة الشحنة الكهربية المخزونة فيه.فإذا وصل المكثف بمصدر جهد متردد alternating current، فإن شحنة المكثف تتأرجح بنفس تردد جهد المصدر المتردد. وكلما زاد تردد الجهد كلما تجمعت شحنة أصغر على المكثف بسبب قصر زمن الطور، وبذلك تقل المقاومة المكافئة للمكثف. وهذا ما يفسر العلاقة العكسية بين المقاومة المكافئة للمكثف وتردد جهد المصدر.

المقاومة والمسماة الممانعة المركبة ZC بالأوم لمكثف ذو سعة C فاراد تساوي:

Z_C = \frac{1}{sC}

ويكون التردد الزاوي s عددا مركبا:

s \ = \ \sigma + j \omega

حيث :

  • j تمثل الجزء التخيلي :
 j^2 = -1
  • \sigma \ ثابت التحلل للدالة الأسية للأساس e بالراديان /ثانية،
  • \omega \ التردد الزاوي الجيبي sinusoidal angular frequency بوحدة راديان/ثانية.

دائرة التوصيل على التوالي[عدل]

دائرة مقاوم ومكثف بالتسلسل

باعتبار الدائرة موزع للجهد، نجد أن الجهد عبر المكثف يساوي:


V_C(s) =  \frac{1/Cs}{R + 1/Cs}V_{in}(s) = \frac{1}{1 + RCs}V_{in}(s)

كما نجد الجهد عبر المقاومة :


V_R(s) = \frac{R}{R + 1/ Cs}V_{in}(s) = \frac{ RCs}{1 + RCs}V_{in}(s)
.

ويكون التيار متساويا عبر الدائرة كلها حيث أنها موصّلة على التوالي:


I(s) = \frac{V_{in}(s) }{R+1/ Cs}  =  { Cs \over 1 + RCs } V_{in}(s)

الاستجابة للإشارة[عدل]

تمثل استجابة الدائرة للجهد الموصل بها في هيئة إشارة كهربية، استجابة المكثف والمقاومة.

استجابة المكثف للإشارة:


h_C(t) = {1 \over RC} e^{-t / RC} u(t)  =  { 1 \over \tau} e^{-t / \tau} u(t)

\tau \ = \ RC ثابت زمني يعتمد على سعة المكثف ومقدار المقاومة.

ويُعطى ستجابة المقاومة للإشارة الكهربية :


h_R(t) = \delta (t) - {1 \over RC} e^{-t / RC} u(t)  =  \delta (t) - { 1 \over \tau} e^{-t / \tau} u(t)

حيث تسمى δ(t) دالة دلتا لديراك.

الثابت الزمني \tau يحدد سرعة انهيار شحنة المكثف أو سرعة شحنه ويمكن التحكم في تلك السرعة بتغيير قيمة المقاومة أو سعة المكثف أو كلاهما معا.

تغير شحنة المكثف مع الزمن[عدل]

نفترض أن جهد الإشارة الداخلة:

V_{in} = 0 عند الزمن t = 0

ثم تتغير وتصبح V_{in} = V :

V_{in}(s) = V\frac{1}{s}

أي أن Vin تتغير بتغير التردد الزاوي s (أنظر أعلاه)،


V_C(s) = V\frac{1}{1 + sRC}\frac{1}{s}

وتكون:


V_R(s) = V\frac{sRC}{1 + sRC}\frac{1}{s}
.
تزايد جهد المكثف مع الزمن.
تناقص جهد المقاومة مع الزمن.

وبتحليل تلك العلاقات نحصل على :


\,\!V_C(t) = V\left(1 - e^{-t/RC}\right)

\,\!V_R(t) = Ve^{-t/RC}
.

تساعدنا تلك المعادلات على حساب الجهد عبر المكثف والمقاومة في وقت زيادة شحنة المكثف. وعند تفريغ المكثف ينعكس تغير المعادلات مع الزمن t. ويمكننا حساب الشحنة وتغيرها مع الزمن C=Q/V كما يمكننا حساب التيار وتغيره مع الزمن V=IR طبقا لقانون أوم.

يميل جهد المكثف لاتخاذ القيمة V بمرور الزمن، بينما يتجه جهد المقاومة نحو الصفر كما يبين المنحنيان. ويمكننا فهم ذلك أن المكثف تكتمل شحنته رويدا رويدا حتى تكتمل شحنته، عندئذ يقف التيار وتصبح الدائر مفتوحة.

تبين تلك المعادلات أن دائرة المقاومة ومكثف تتميز بثابت زمني يرمز له< math>\tau = RC</math> وهو الوقت الذي يزيد فيه الجهد عبر المكثف أوينخفض عبر المقاومة بنسبة 1/e من قيمته النهائية. أي أن \tau هو الوقت اللازم لكي تصل V_C إلى القيمة V(1 - 1/e) ، وجهد المقاومة V_R لكي يصل إلى القيمة V(1/e).

ومعدل تغير الشحنة هو نسبة \left(1 - \frac{1}{e}\right) إلى \tau. وعلى ذلك عند تغير t=N\tau إلى t = (N+1)\tau يكون الجهد قد تغير بنسبة 63.2 % من قيمته النهائية t=N\tau. أي أن المكثف يكون قد وصل إلى 63.2 % من شحنته بعد زمن \tau ويصل إلى 99.3 % من شحنته النهائية بعد 5\tau. وعندما تُغلق الدائرة ويكون المكثف مشحونا تماما ينخفض الجهد عبر C طبقا للدالة الأسية e بالأس t من V إلى 0. وتتفرغ شحنة C إلى 36.8 % (=1/e) بعد مرور \tau وتقترب من التفريغ بنسبة 0.7 % بعد زمن 5\tau.

نلاحظ أن شدة التيار في تتغير في الدائرة I مثلما يتغير الجهد عبر المقاومة R وطبقا لقانون أوم.

كما يمكن الحصول على تلك النتائج عن طريق حل المعدلات التفاضلية التي تنطبق على الدائرة:


\frac{V_{in} - V_C}{R} = C\frac{dV_C}{dt}

كما أن :


\,\!V_R = V_{in} - V_C
.

تُحل المعادلة الأولى باستخدام معامل تكامل ويتبعه حل المعادلة الثانية بسهولة. وتكون الحلول هي نفسها التي وصلنا لها هنا.

اقرأ أيضا[عدل]