دالة التوزيع التراكمي

من ويكيبيديا، الموسوعة الحرة
اذهب إلى: تصفح، ‏ ابحث
دالة التوزيع التراكمي للتوزيعات الطبيعية في الصورة أدناه.
دالة الكثافة الاحتمالية لعدة توزيعات طبيعية حيث يمثل اللون الأحمر التوزيع الطبيعي القياسي منحنى على شكل قوس قوطي.

دالة التوزيع التراكمي (بالإنكليزية: Cumulative distribution function) في علم الإحصاء ونظرية الاحتمالات هي دالة تحدد ما هو احتمال أن تكون قيمة متغير عشوائي ما (س) أقل من أو تساوي قيمة معينة (د). أو بمعنى آخر، فإنها دالة تعطي توزيع الاحتمالات لمتغير عشوائي على أن تكون قيمته عددا حقيقيا. وينبغي عدم الخلط بين دالة التوزيع التراكمي ودالة الكثافة الاحتمالية أو دالة الكتلة الاحتمالية الخاصة بالمتغيرات العشوائية المنفصلة.

التعريف الرياضي[عدل]

في الفضاء الاحتمالي (\Omega , \Sigma, P) حيث:

  •  \mathcal F هو σ-جبر لفضاء العينة التي ندعو كل عنصر من عناصرها :(حدث).

والمتغير العشوائي الحقيقي معرف حسب التالي: X\colon \ \Omega \to\R ودالة التوزيع التراكمي المعرفة كما يلي: F_X \colon \R \to \R تحدد ما هي احتمالية أن تكون قيمة المتغير العشوائي أقل أو تساوي قيمة حقيقية معطاة.

F_X(x) = P(X \le x)    x\in\R.

كما يمكن تحديد احتمالية أن تكون قيمة المتغير العشوائي أكثر من a وأقل من أو يساوي b.

P(a<X \leq b) = P(X \leq b) - P(X \leq a) = F(b) - F(a)

مثال[عدل]

عند رمي زهر النرد، فاحتمالية أن يكون الرقم الظاهر بين 3 و 5 هي:

P(2 < X \leq 5) = F(5) - F(2) = {5 \over 6} - {2 \over 6} = {3 \over 6} = {1 \over 2}.


كذلك يمكن تعريف دالة التوزيع التراكمي بدلالة دالة الكثافة الاحتمالية بإجراء التكامل.

F(x) = \int_{-\infty}^x f(t)\,dt.