دالة بيتا

في الرياضيات تعرف دالة بيتا علي انها أحد الدوال الخاصة وتعطي بالعلاقة التالية:

$\mathrm{\Beta}(x,y) = \int_0^1t^{x-1}(1-t)^{y-1}\,dt \!$

لكل $\textrm{Re}(x), \textrm{Re}(y) > 0.\,$ وتسمي أيضا بتكامل أويلر من النوع الأول ، هذه الدالة تعاقب علي دراستها كل من أويلر وليجاندر والذي أعطيها ذلك الاسم هو جاك بينيه ، يعد الرمز B هوأحد الحروف الكبيرة في الكتابة اليونانية أما الحرف الصغير له هو β.

خصائص دالة بيتا [عدل]

تعتبر دالة بيتا دالة دالة متماثلة ، وهذا يعني:

$\Beta(x,y) = \Beta(y,x). \!$

يمكن تعريف دالة بيتا بدلالة دالة جاما وذلك عن طريق الصيغة التالية :

$\Beta(x,y)=\dfrac{\Gamma(x)\,\Gamma(y)}{\Gamma(x+y)} \!$

عندما يكون كل من x و y عدد صحيح موجب تكون صيغة دالة بيتا كالتالي :

$\Beta(x,y)=\dfrac{(x-1)!\,(y-1)!}{(x+y-1)!} \!$

حيث أن (Gamma (x تساوي x! عندما يكون x عدد صحيح موجب

وتوجد العديد من الصيغ لدالة بيتا منها :

$\Beta(x,y) = 2\int_0^{\pi/2}(\sin\theta)^{2x-1}(\cos\theta)^{2y-1}\,d\theta, \qquad \mathrm{Re}(x)>0,\ \mathrm{Re}(y)>0 \!$

$\Beta(x,y) = \int_0^\infty\dfrac{t^{x-1}}{(1+t)^{x+y}}\,dt, \qquad \mathrm{Re}(x)>0,\ \mathrm{Re}(y)>0 \!$

$\Beta(x,y) = \sum_{n=0}^\infty \dfrac{{n-y \choose n}} {x+n}, \!$

$\Beta(x,y) = \frac{x+y}{x y} \prod_{n=1}^\infty \left(1+ \dfrac{x y}{n (x+y+n)}\right)^{-1}, \!$

$\Beta(x,y)\cdot(t \mapsto t_+^{x+y-1}) = (t \to t_+^{x-1}) * (t \to t_+^{y-1}) \qquad x\ge 1, y\ge 1, \!$

$\Beta(x,y) \cdot \Beta(x+y,1-y) = \dfrac{\pi}{x \sin(\pi y)}, \!$

العلاقة بين دالة بيتا ودالة جاما [عدل]

لكي نوجد التكامل الذي يمثل دالة بيتا، نبدأ بحاصل ضرب دالتين جاما :

$\Gamma(x)\Gamma(y) = \int_0^\infty\ e^{-u} u^{x-1}\,du \int_0^\infty\ e^{-v} v^{y-1}\,dv =\int_0^\infty\int_0^\infty\ e^{-u-v} u^{x-1}v^{y-1}\,du \,dv. \!$

بتبديل المتغيران بوضع u=zt, v=z(1-t) يتضح لنا :

$\int_{z=0}^\infty\int_{t=0}^1\ e^{-z} (zt)^{x-1}(z(1-t))^{y-1}z\,dt \,dz =\int_{z=0}^\infty \ e^{-z}z^{x+y-1} \,dz\int_{t=0}^1t^{x-1}(1-t)^{y-1}\,dt. \!$

ومن ثم،

$\Gamma(x)\,\Gamma(y)=\Gamma(x+y)\Beta(x,y).$

المشتقات [عدل]

تكون مشتقة دالة بيتا علي الصورة :

${\partial \over \partial x} \mathrm{B}(x, y) = \mathrm{B}(x, y) \left({\Gamma'(x) \over \Gamma(x)} - {\Gamma'(x + y) \over \Gamma(x + y)} \right) = \mathrm{B}(x, y) (\psi(x) - \psi(x + y)),$

حيث $\ \psi(x)$ هي دالة ثنائي جاما

التكاملات [عدل]

يشمل تكامل نورلايد-ريز تكامل دالة بيتا.

التقريب [عدل]

يمكن تقريب دالة بيتا عن طريق تقريب استراينج ويعطي الصيغة التالية :

$\Beta(x,y) \sim \sqrt {2\pi } \frac{{x^{x - \frac{1}{2}} y^{y - \frac{1}{2}} }}{{\left({x + y} \right)^{x + y - \frac{1}{2}} }}$

وذلك لكل من x و y كبيرين ، أما ان كان x كبير و y محدود فتكون الصيغة كالتالي:

$\Beta(x,y) \sim \Gamma(y)\,x^{-y}.$