دالة حسابية

في نظرية الأعداد, دالة حسابية هي دالة (f(n قيمها أعداد حقيقية أو عقدية، عرفت على مجموعة الأعداد الطبيعية (أي مجموعة الأعداد الصحيحة الموجبة) والتي "تعبر عن خاصية حسابية ما للعدد n".

الرموز المستعملة

$\sum_p f(p)\;$   و  $\prod_p f(p)\;$  , يعنيان على التوالي المجموع والجداء الذين يمتدان على مجموعة الأعداد الأولية.

$\sum_p f(p) = f(2) + f(3) + f(5) + \cdots$     $\prod_p f(p)= f(2)f(3)f(5)\ldots.$

وبشكل مماثل، فإن   $\sum_{p^k} f(p)\;$   و  $\prod_{p^k} f(p)\;$   يعنيان على التوالي المجموع والجداء الذين يمتدان على مجموعة قوى الأعداد الأولية حيث تكون القوة أكبر قطعا من الصفر(إذن، 1 ليس ضمن هاته المجموعة).

الدوال ذات الصبغة الجداءية والدوال ذات صبغة الجمع

دالة حسابية a هي :

• ذات صبغة جمع بصفة كاملة إذا توفر (a(mn) = a(m) + a(n بالنسبة لأي عددين طبيعيين m و n.
• ذات صبغة جداءية بصفة كاملة إذا توفر (a(mn) = a(m)a(n بالنسبة لأي عددين طبيعيين m و n.

وأيضا، دالة حسابية a هي :

• ذات صبغةِ جمع إذا توفر (a(mn) = a(m) + a(n بالنسبة لأي عددين طبيعيين m و n أوليين فيما بينهما.
• ذات صبغةٍ جداءية إذا توفر (a(mn) = a(m)a(n بالنسبة لأي عددين طبيعيين m و n أوليين فيما بينهما.

الدوال ذات الصبغة الجداءية

(φ(n – دالة مؤشر أويلر

(φ(n, دالة مؤشر أويلر, هي عدد الأعداد الصحيحة الموجبة الأصغر من n والأولية معه.

$\varphi(n) = n \prod_{p|n} \left(1-\frac{1}{p}\right) =n \left(\frac{p_1 - 1}{p_1}\right)\left(\frac{p_2 - 1}{p_2}\right) \ldots \left(\frac{p_{\omega(n)} - 1}{p_{\omega(n)}}\right) .$

(J_k(n – دالة مؤشر جوردان

هي تعميم لمؤشر أويلر.

(μ(n - دالة موبيوس

انظر إلى دالة موبيوس.

الدوال ذات الصبغة الجداءية بصفة كاملة

(λ(n - دالة ليوفيل

(λ(n, دالة ليوفيل, تعرف بالصيغة التالية :

$\lambda (n) = (-1)^{\Omega(n)}.\;$

(χ(n - الحروف

كل حروف ديريشلت (χ(n, هي دوال ذات صبغة جداءية بصفة كاملة.