دالة زائدية

من ويكيبيديا، الموسوعة الحرة
اذهب إلى: تصفح، ‏ ابحث
شعاع مار بنقطة الأصل ويقطع القطع الزائد \scriptstyle x^2\ -\ y^2\ =\ 1 في النقاط \scriptstyle (\cosh\,a,\,\sinh\,a), حيث \scriptstyle a تكون المساحة بين الشعاع, وانعكاسه بالنسبه للمحور \scriptstyle x, والقطع الزائد (إنظر صورة متحركة للمقارنة مع الدوال المثلثية.

الدوال الزائدية أو الدوال الزائدة في الرياضيات هي تلك الدوال المماثلة للدوال المثلثية أو الدائرية. تشكل الدوال الاتية الأساس في الدوال الزائدية:

  • دالة الجيب الزائدي, sinh أو sh
  • جيب التمام الزائدي, cosh أو ch
  • الظل الزائدي, tanh أو th

كما يوجد لهذه الدوال معكوس كما في المثلثية:

  • معكوس الجيب الزائدي, asinh
  • معكوس جيب التمام الزائدي, acosh
  • معطوس الظل الزائدي, atanh

سبب التسمية[عدل]

تعود تسميتها بالزائدية لأنها دوال مشتقة من دالة القطع الزائد ولأن لها خواص شبيهة جدا بالدوال المثلثية كما سيتبين لاحقا. كما نعلم من الدائرة, تمثل النقاط cos(t), sin(t)\, دائرة الوحدة (نصف قطرها = 1), بالمثل فإن النقاط cosh(t), sinh(t)\, تشكل النصف الأيمن من القطع الزائد. تأخذ الدوال الزائدية قيما حقيقية إذا كانت وسائطها حقيقية الزاوية الزائدية. في التحليل المركب, هي ببساطة دوال نسبية أسية. تم تقديم هذه الدوال من قبل الرياضي السويسري جوهان هنرك لامبرت.

تعبيرات جبرية قياسية[عدل]

sinh, cosh وtanh
csch, sech وcoth

الدوال المثلثية هي:

  • الجيب الزائدي:
\sinh x = \frac{e^x - e^{-x}}{2} = - {\rm{i}} \sin {\rm{i}}x \!
  • جيب التمام الزائدي:
\cosh x =  \frac{e^{x} + e^{-x}}{2} = \cos {\rm{i}}x \!
  • الظل الزائدي:
\tanh x =  \frac{\sinh x}{\cosh x} = \frac {\frac {e^x - e^{-x}} {2}} {\frac {e^x + e^{-x}} {2}} = \frac {e^x - e^{-x}} {e^x + e^{-x}} = \frac{e^{2x} - 1} {e^{2x} + 1} = -{\rm{i}} \tan {\rm{i}}x \!
  • ظل التمام الزائدي:
\coth x = \frac{\cosh x}{\sinh x} = \frac {\frac {e^x + e^{-x}} {2}} {\frac {e^x - e^{-x}} {2}} = \frac {e^x + e^{-x}} {e^x - e^{-x}} = \frac{e^{2x} + 1} {e^{2x} - 1} = {\rm{i}}  \cot {\rm{i}}x \!
  • القاطع الزائدي:
\operatorname{sech} x = \frac{1}{\cosh x} = \frac {2} {e^x + e^{-x}} = \sec { {\rm{i}} x} \!
  • قاطع التمام الزائدي:
\operatorname{csch} x = \frac{1}{\sinh x} = \frac {2} {e^x - e^{-x}} = {\rm{i}}\,\csc\,{\rm{i}}x \!

حيث {\rm{i}} \, وحدة تخيلية معرفة بأنها {\rm{i}} ^2=-1\,.

يمكن وضع الدوال الزائدية بالصور المعقدة كما في صيغة إيولر. لاحظ أنه من التعريف, {\rm{sinh}}^2 x\, تعني ({\rm{sinh}} x)^2\,, ليس {\rm{sinh}} ({\rm{sinh}} x)\,; وبالمثل للداول الزائدية الأخرى والأسات الموجبة.

علاقات مفيدة[عدل]

\sinh(-x) = -\sinh x\,\!
\cosh(-x) =  \cosh x\,\!

وعليه:

\tanh(-x) = -\tanh x\,\!
\coth(-x) = -\coth x\,\!
\operatorname{sech}(-x) =  \operatorname{sech}\, x\,\!
\operatorname{csch}(-x) = -\operatorname{csch}\, x\,\!

يمكن ملاحظة أن cosh x\, و{\rm{sech}} x\, هي دوال زوجية; والأخريات هي دوال فردية.

\operatorname {arcsech}x=\operatorname {arccosh}  \frac{1}{x}
\operatorname {arccsch}x=\operatorname {arcsinh}  \frac{1}{x}
\operatorname {arccoth}x=\operatorname {arctanh}  \frac{1}{x}

الجيب الزائدي جيب التمام الزائدي يحقق المتطابقة:

\cosh^2 x - \sinh^2 x = 1\,

وهي مشابهة لمتطابقة فيثاغورث.

الظل الزائدي هو حل لمعادلة غير خطية هي مسألة القيمة الحدية:

\frac 1 2 f'' = f^3 - f \qquad ; \qquad f(0) = f'(\infty) = 0

دوال المعكوس في صور لوغاريتمية[عدل]

\operatorname {arcsinh} x=\ln \left(x+\sqrt{x^{2}+1} \right)
\operatorname {arccosh} x=\ln \left(x+\sqrt{x^{2}-1} \right);x\ge 1
\operatorname {arctanh} x=\frac{1}{2}\ln  \frac{1+x}{1-x} ;\left| x \right|<1
\operatorname {arcsech} x=\ln  \frac{1+\sqrt{1-x^{2}}}{x} ;0<x\le 1
\operatorname {arccsch} x=\ln \left(\frac{1}{x}+\frac{\sqrt{1+x^{2}}}{\left| x \right|} \right)
\operatorname {arccoth} x=\frac{1}{2}\ln  \frac{x+1}{x-1} ;\left| x \right|>1

المشتقات[عدل]

 \frac{d}{dx}\sinh(x) = \cosh(x) \,
خطأ رياضيات (خطأ في الصيغة): \frac{d}{dx}\cosh (x) = \-sinh (x) \,


 \frac{d}{dx}\tanh(x) = 1 - \tanh^2(x) = \hbox{sech}^2(x) = 1/\cosh^2(x) \,
 \frac{d}{dx}\coth(x) = 1 - \coth^2(x) = -\hbox{csch}^2(x) = -1/\sinh^2(x) \,
 \frac{d}{dx}\ \hbox{csch(x)} = - \coth(x)\ \hbox{csch(x)}\,
 \frac{d}{dx}\ \hbox{sech(x)} = - \tanh(x)\ \hbox{sech(x)}\,
\frac{d}{dx}\left(\sinh ^{-1}x \right)=\frac{1}{\sqrt{x^{2}+1}}
\frac{d}{dx}\left(\cosh ^{-1}x \right)=\frac{1}{\sqrt{x^{2}-1}}
\frac{d}{dx}\left(\tanh ^{-1}x \right)=\frac{1}{1-x^{2}}
\frac{d}{dx}\left(\operatorname{csch}^{-1}x \right)=-\frac{1}{\left| x \right|\sqrt{1+x^{2}}}
\frac{d}{dx}\left(\operatorname{sech}^{-1}x \right)=-\frac{1}{x\sqrt{1-x^{2}}}
\frac{d}{dx}\left(\coth ^{-1}x \right)=\frac{1}{1-x^{2}}

تكاملات قياسية[عدل]

\int\sinh ax\,dx = \frac{1}{a}\cosh ax + C
\int\cosh ax\,dx = \frac{1}{a}\sinh ax + C
\int \tanh ax\,dx = \frac{1}{a}\ln(\cosh ax) + C
\int \coth ax\,dx = \frac{1}{a}\ln(\sinh ax) + C
\int{\frac{du}{\sqrt{a^{2}+u^{2}}}}=\sinh ^{-1}\left(\frac{u}{a} \right)+C
\int{\frac{du}{\sqrt{u^{2}-a^{2}}}}=\cosh ^{-1}\left(\frac{u}{a} \right)+C
\int{\frac{du}{a^{2}-u^{2}}}=\frac{1}{a}\tanh ^{-1}\left(\frac{u}{a} \right)+C; u^{2}<a^{2}
\int{\frac{du}{a^{2}-u^{2}}}=\frac{1}{a}\coth ^{-1}\left(\frac{u}{a} \right)+C; u^{2}>a^{2}
\int{\frac{du}{u\sqrt{a^{2}-u^{2}}}}=-\frac{1}{a}\operatorname{sech}^{-1}\left(\frac{u}{a} \right)+C
\int{\frac{du}{u\sqrt{a^{2}+u^{2}}}}=-\frac{1}{a}\operatorname{csch}^{-1}\left| \frac{u}{a} \right|+C

في التعابير السابقة, يدعى 'C بثابت التكامل.

تعابير متسلسلات تايلور[عدل]

من الممكن نشر التعابير السابقة في صورة متسلسلة تايلور:

\sinh x = x + \frac {x^3} {3!} + \frac {x^5} {5!} + \frac {x^7} {7!} +\cdots = \sum_{n=0}^\infty \frac{x^{2n+1}}{(2n+1)!}
\cosh x = 1 + \frac {x^2} {2!} + \frac {x^4} {4!} + \frac {x^6} {6!} + \cdots = \sum_{n=0}^\infty \frac{x^{2n}}{(2n)!}
\tanh x = x - \frac {x^3} {3} + \frac {2x^5} {15} - \frac {17x^7} {315} + \cdots = \sum_{n=1}^\infty \frac{2^{2n}(2^{2n}-1)B_{2n} x^{2n-1}}{(2n)!}, \left |x \right | < \frac {\pi} {2}
\coth x = \frac {1} {x} + \frac {x} {3} - \frac {x^3} {45} + \frac {2x^5} {945} + \cdots = \frac {1} {x} + \sum_{n=1}^\infty \frac{2^{2n} B_{2n} x^{2n-1}} {(2n)!}, 0 < \left |x \right | < \pi (متسلسلة لورنت)
\operatorname {sech}\, x = 1 - \frac {x^2} {2} + \frac {5x^4} {24} - \frac {61x^6} {720} + \cdots = \sum_{n=0}^\infty \frac{E_{2 n} x^{2n}}{(2n)!} , \left |x \right | < \frac {\pi} {2}
\operatorname {csch}\, x = x^{-1} - \frac {x} {6} +\frac {7x^3} {360} -\frac {31x^5} {15120} + \cdots = x^{-1} + \sum_{n=1}^\infty \frac{ 2 (1-2^{2n-1}) B_{2n} x^{2n-1}}{(2n)!} , 0 < \left |x \right | < \pi (متسلسلة لورنت)

حيث

B_n \, هي عدد برنولي رقم n
E_n \, هي عدد إيولر رقم n

أوجه التشابه مع الدوال المثلثية[عدل]

نقطة على القطع الزائد, x y = 1 بـ x > 1 تحدد مثلث زائدي, وفيه يكون الجانب المجاور للزاوية الزائدية مصحوبا بـcosh بينما العكس مع sinh. لكن بما أن النقطة (1,1) على هذا القطع الزائد هي على مسافة 2√ من نقطة الأصل, ويكون ثابت التعامد ضروريا لتعريف cosh و sinh بدلالة أطوال المثلث الزائدي. وكما تعبر النقاط (cos(t), sin(t))\, عن دائرة الوحدة, فإن النقاط (cosh(t), sinh(t))\, تعبر عن x^2-y^2=1\, وهذا بناء على القاعدة المثبتة:

\cosh^2 t - \sinh^2 t = 1 \,

والخاصية cosh t >= 1 لجميع قيم t.

الدوال الزائديه هي دوال دورية ذات دور مركب 2 \pi i (\pi i للظل الزائدي وظل التمام الزائدي.

المتغير البارامتري t ليس زاوية دائرية, ولكنه زاوية زائدية والتي توضح ضعف المساحة بي المحور السيني والقطع الزائدي والخط المستقيم الواصل بين نقطة الأصل والنقطة cosh(t), sinh(t)\, على القطع الزائد.

الدالة cosh x هي دالة زوجية, متماثلة حول المحور y.

الدالة sinh x is an دالة فردية, أي أن -sinh x = sinh -x, و sinh 0 = 0.

في الحقيقة يمكن التحويل بين المتطابقات المثلثية والمتطابقات الزائدية باستعمال قاعدة اوسبورن التي تنص على هذه الإمكانية عن طريق نشر المتطابقة كليا في حدود قوى تكاملات للجيب وجيب التمام, وبتغيير

sine إلىsinh و cosine إلى cosh, وتبديل الإشارة في كل حد يحوي مضروب من 2, 6, 10, 14,... sinh's. وينتج هذا على سبيل المثال نظريات الجمع.

\sinh(x+y) = \sinh x \cosh y + \cosh x \sinh y \,
\cosh(x+y) = \cosh x \cosh y + \sinh x \sinh y \,
\tanh(x+y) = \frac{\tanh x + \tanh y}{1 + \tanh x \tanh y} \,

صيغة مضاعف الزاوية

\sinh 2x\ = 2\sinh x \cosh x \,
\cosh 2x\ = \cosh^2 x + \sinh^2 x = 2\cosh^2 x - 1 = 2\sinh^2 x + 1 \,

وصيغة نصف الزاوية

\cosh^2\frac{x}{2} = \frac{\cosh x + 1}{2} ملاحظة: هذا يقابل الجزء المعاكس في الدائرة.
\sinh^2\frac{x}{2} = \frac{\cosh x - 1}{2} هذا يقابل الجزء المعاكس في الدائرة مضروبا في -1.
\tanh ^{2}x=1-\operatorname{sech}^{2}x
\coth ^{2}x=1+\operatorname{csch}^{2}x

يعطى اشتقاق sinh x بدلالة cosh x واشتقاق cosh x هو sinh x; وهذا مشابه للدوال المثلثية ولوأن الإشارة تختلف. أي أن، مشتق cos x هو −sin x.

تعطي دالة غودرماني علاقة مباشرة بين الدوال المثلثية والزائدية دون اللجوء إلى الأعداد المركبة.

رسم الدالة a*cosh x/a هو منحنى سلسلي, المنحنى الناتج من سلسلة منتظمة مرنة معلقة بشكل حر بتأثير الجاذبية.

علاقاتها بالدوال الأسية[عدل]

من تعريف الجيب الزائدي والتمام, يمكن اشتقاق المتطابقات التالية:

e^x = \cosh x + \sinh x\!

و

e^{-x} = \cosh x - \sinh x.\!

وهي تعابير مشابهة لتعابير الجيب وجيب التمام في المثلثات, بناء على صيغة ايولر كمجموع للأسات المركبة.

الدوال الزائدية للأعداد المركبة[عدل]

لما كانت الدالة الأسية قابلة للتعريف على أي عدد مركب يمكن توسيع التعاريف للوسائط المركبة. الدوال sinh z و cosh z هي إذن هولومورفية.

وتعطى علاقاتها مع الدوال المثلثية بصيغة اويلر للأعداد المركبة:

e^{i x} = \cos x + i \;\sin x
e^{-i x} = \cos x - i \;\sin x

وعليه:

\cosh ix = \frac{e^{i x} + e^{-i x}}{2} = \cos x
\sinh ix = \frac{e^{i x} - e^{-i x}}{2} = i \sin x
\tanh ix = i \tan x \,
\cosh x = \cos ix \,
\sinh x = -i \sin ix \,
\tanh x = -i \tan ix \,
دوال زائدية في المستوى المركب
Complex Sinh.jpg
Complex Cosh.jpg
Complex Tanh.jpg
Complex Coth.jpg
Complex Sech.jpg
Complex Csch.jpg

\operatorname{sinh}(z)

\operatorname{cosh}(z)

\operatorname{tanh}(z)

\operatorname{coth}(z)

\operatorname{sech}(z)

\operatorname{csch}(z)

تطبيقات الدوال الزائدية[عدل]

لاتقل هذه الدوال شأنا عن الدوال المثلثية, إذ يمكن استخدامها في بعض مسائل التكامل كتعويض مناسب لإيجاد الحل, كما نشأت في بعض المعادلات التفاضلية الخطية كحل عام كما هو الحال في معادلة لابلاس في الإحداثيات الكارتيزية والتي أصبح لها تطبيقات عديدة في الفيزياء. في علم الميكانيكا أيضا كان حساب طول السلاسل المعلقة بشكل حر يجري بشكل متسلسلة قبل التوصل لهذه الدوال.

إنظر أيضا[عدل]