دالة مقعرة

الدالة المقعرة (بالإنجليزية: Concave)هي دالة منحنية ذات قمة في الاتجاه الرأسي ، مفتوحة نحو الأسفل ، تسمى أحيانا "مقعرة قبعيّة " حيث تشبه القبعة ، أو تشبه الجرس . وهي عكس الدالة المحدبة في شكل منحناها .

تعريفها

دالة مقعرة

إذا كانت الدالة f ذات قيم حقيقية في حيز معين فهي تسمى دالة مقعرة إذا كانت لكل قيمة من x و y في الحيز ولكل t في [0,1],

$f(tx+(1-t)y)\geq t f(x)+(1-t)f(y).$

وتسمى دالة "دالة مقعرة دقيقة " strictly concave إذا كان :

$f(tx + (1-t)y) > t f(x) + (1-t)f(y)\,$

لأي t في (0,1) و x ≠ y.

وبالنسبة إلى دالة f:R→R, فهي تعبر عن أن لكل نقطة z بين x و y, فتكون ((z, f(z) على منحني f فوق الخط المستقيم الواصل بين ((x, f(x) و ((y, f(y) .

امثلة

• الدالة $f(x)=-x^2$ ......، والدالة $f(x)=\sqrt{x}$ هما دالتان مقعرتان ، حيث أن المشتقة التفاضلية الثانية سالبة دائما ،

• أي دالة خطية $f(x)=ax+b$ تعتبر دالة مقعرة ودالة محدبة في نفس الوقت،

• الدالة $f(x)=\sin(x)$ تكون مقعرة في الحيز $[0, \pi]$.

• $\log |B|$, حيث $|B|$ محدد مصفوفة حقيقية غير سالبة B,تكون دالة مقعرة .
• من الأمثلة العملية : انحناء الأشعة في حساب الموجات الراديوية في الغلاف الجوي .

انظر أيضا

• دالة محدبة