دالة مميزة (نظرية احتمالات)

من ويكيبيديا، الموسوعة الحرة
اذهب إلى: تصفح، ‏ ابحث

في نظرية احتمالات، الدالة المميزة لمتغير عشوائي X حقيقي هي دالة ذات قيم مركبة معرفة على المجال \scriptstyle\ \R\ حيث:


\begin{align}
\varphi_{X}(t)&=\mathbb{E}\left[e^{itX}\right]
\\
&=\mathbb{E}\left[\cos (tX)\right]+i\ \mathbb{E}\left[\sin (tX)\right].
\end{align}

في حالة وجود دالة كثافة احتمالية للمتغير العشوائي X ، فإن الدالة المميزة في هذه الحالة هي معكوسة تحويل فورييه ( بمعامل تقريبي \scriptstyle\ 2\pi \, ) لدالة الكثافة. (في بعض الأحيان تستعمل هذه الدالة \scriptstyle\ \phi_X(t) = E[e^{2i\pi tX}].)

بشكل أعم، الدالة المميزة لمتغير عشوائي حقيقي معرف على المجال \scriptstyle\ \R^d\ ، هي الدالة ذات القيم المركبة المعرفة على المجال \scriptstyle\ \R^d\ بـ :


\phi_X(u) = \mathbb{E}\left[e^{i \langle u , X \rangle}\right]\, أين \scriptstyle\ \langle u , X \rangle\, هو الجداء القياسي لـ u مع X.

في حالة المتغير العشوائيX المنفصل، تعرف الدالة المميزة بـ :

G(z)=\mathbb{E}\left[z^X\right] باعتبار z عدد مركب، و نستخلص إذا :

\phi_{X}(t)=G\left(e^{it}\right); حيث أن الدالة G هي امتداد لـ \scriptstyle\ \phi_{X}


خصائص الدالة المميزة[عدل]

بشكل أعم، إذا كان X_1, \ldots, X_n مجموعة من المتغيرات العشوائية المستقلة عن بعضها البعض، فإن

\phi_{X_1+\cdots+X_n}=\phi_{X_1}\cdots\phi_{X_n}

وبتطبيق معكوسة تحويل فورييه لـ \phi_{X+Y} نتحصل على قانون دالة التوزيع الاحتمالي للدالة X+Y

  • توجد أيضا علاقة بين الدالة المميزة و دالة العزوم لمتغير عشوائي، ففي حالة وجود دالة العزوم بالإضافة إلى تقارب المتتالية فإن:
\phi_X(t)=\sum_{k=0}^{\infty}\frac{i^k \mu_k}{k!}t^k أين \mu_k هو عزم ذو درجة k .

تستعمل هذه العلاقة أحيانا لإيجاد المتوسط الحسابي (الذي يمثل العزم ذو درجة 1) و[[تباين|التباين] (الذي يمثل العزم ذو درجة 2) حيث أن:

1=\phi_X(0),\qquad\mathbb{E}[X]=-i\,\phi^{\prime}_X(0),\qquad\mathbb{E}\left[X^2\right]=-\,\phi^{\prime\prime}_X(0)
\textrm{Var}(X)=-\,\phi^{\prime\prime}_X(0)+\phi^{\prime 2}_X(0).

\phi_{aX+b}(t)=\phi_X(at)\,e^{itb}

بعض الدوال المميزة المشهورة[عدل]

التوزيع الاحتمالي الدالة المميزة φ(t)
توزيع احتمالي ثنائي B(n, p)   \, (1-p+pe^{it})^n
توزيع بواسون Pois(λ)   \, e^{\lambda(e^{it}-1)}
توزيع منتظم U(a, b)   \, \frac{e^{itb} - e^{ita}}{it(b-a)}
توزيع لابلاس L(μ, b)   \, \frac{e^{it\mu}}{1 + b^2t^2}
توزيع احتمالي طبيعي N(μ, σ2)   \, e^{it\mu - \frac{1}{2}\sigma^2t^2}
توزيع كاي مريع χ2k   \, (1 - 2it)^{-k/2}
توزيع كوشي Cauchy(μ, θ)   \, e^{it\mu -\theta|t|}
توزيع غاما Γ(k, θ)   \, (1 - it\theta)^{-k}
توزيع أسي Exp(λ)   \, (1 - it\lambda^{-1})^{-1}
توزيع طبيعي متعدد الحدود N(μ, Σ)   \, e^{it'\mu - \frac{1}{2}t'\Sigma t}

الجدول أعلاه مقتبس من الجدول الموسع للدوال المميزة لاورهيتينغر ( 1973 )