دالة مميزة (نظرية احتمالات)

في نظرية احتمالات، الدالة المميزة لمتغير عشوائي X حقيقي هي دالة ذات قيم مركبة معرفة على المجال $\scriptstyle\ \R\$ حيث:

$\begin{align} \varphi_{X}(t)&=\mathbb{E}\left[e^{itX}\right] \\ &=\mathbb{E}\left[\cos (tX)\right]+i\ \mathbb{E}\left[\sin (tX)\right]. \end{align}$

في حالة وجود دالة كثافة احتمالية للمتغير العشوائي X ، فإن الدالة المميزة في هذه الحالة هي معكوسة تحويل فورييه ( بمعامل تقريبي $\scriptstyle\ 2\pi \,$ ) لدالة الكثافة. (في بعض الأحيان تستعمل هذه الدالة $\scriptstyle\ \phi_X(t) = E[e^{2i\pi tX}].$)

بشكل أعم، الدالة المميزة لمتغير عشوائي حقيقي معرف على المجال $\scriptstyle\ \R^d\$، هي الدالة ذات القيم المركبة المعرفة على المجال $\scriptstyle\ \R^d\$ بـ :

$\phi_X(u) = \mathbb{E}\left[e^{i \langle u , X \rangle}\right]\,$ أين $\scriptstyle\ \langle u , X \rangle\,$ هو الجداء القياسي لـ u مع X.

في حالة المتغير العشوائيX المنفصل، تعرف الدالة المميزة بـ :

$G(z)=\mathbb{E}\left[z^X\right]$ باعتبار z عدد مركب، و نستخلص إذا :

$\phi_{X}(t)=G\left(e^{it}\right);$ حيث أن الدالة G هي امتداد لـ $\scriptstyle\ \phi_{X}$

خصائص الدالة المميزة

• تحدد الدالة المميزة طبيعة التوزيع الاحتمالي لمتغير عشوائي في حالة تساوي دالتين، يعني في حالة تساوي دالتين مميزتين $\phi_X=\phi_Y\,$ نستنتج أن للمتغيران $X\,$ et $Y\,$ نفس دالة التوزيع الاحتمالي.

• إذا كان X و Y متغيران عشوائيان مستقلان، إذا $\phi_{X+Y}=\phi_{X}\,\phi_{Y}$.

بشكل أعم، إذا كان $X_1, \ldots, X_n$ مجموعة من المتغيرات العشوائية المستقلة عن بعضها البعض، فإن

$\phi_{X_1+\cdots+X_n}=\phi_{X_1}\cdots\phi_{X_n}$

وبتطبيق معكوسة تحويل فورييه لـ $\phi_{X+Y}$ نتحصل على قانون دالة التوزيع الاحتمالي للدالة X+Y

• توجد أيضا علاقة بين الدالة المميزة و دالة العزوم لمتغير عشوائي، ففي حالة وجود دالة العزوم بالإضافة إلى تقارب المتتالية فإن:

$\phi_X(t)=\sum_{k=0}^{\infty}\frac{i^k \mu_k}{k!}t^k$ أين $\mu_k$ هو عزم ذو درجة k .

تستعمل هذه العلاقة أحيانا لإيجاد المتوسط الحسابي (الذي يمثل العزم ذو درجة 1) و[[تباين|التباين] (الذي يمثل العزم ذو درجة 2) حيث أن:

$1=\phi_X(0),\qquad\mathbb{E}[X]=-i\,\phi^{\prime}_X(0),\qquad\mathbb{E}\left[X^2\right]=-\,\phi^{\prime\prime}_X(0)$

$\textrm{Var}(X)=-\,\phi^{\prime\prime}_X(0)+\phi^{\prime 2}_X(0)$.

• مثلا العلاقة التالية تستعمل في حساب الدالة المميزة لمتغير عشوائي ذو توزيع احتمالي طبيعي موسط ومخزل :

$\phi_{aX+b}(t)=\phi_X(at)\,e^{itb}$

بعض الدوال المميزة المشهورة

التوزيع الاحتمالي	الدالة المميزة φ(t)
توزيع احتمالي ثنائي B(n, p)	$\, (1-p+pe^{it})^n$
توزيع بواسون Pois(λ)	$\, e^{\lambda(e^{it}-1)}$
توزيع منتظم U(a, b)	$\, \frac{e^{itb} - e^{ita}}{it(b-a)}$
توزيع لابلاس L(μ, b)	$\, \frac{e^{it\mu}}{1 + b^2t^2}$
توزيع احتمالي طبيعي N(μ, σ2)	$\, e^{it\mu - \frac{1}{2}\sigma^2t^2}$
توزيع كاي مريع χ2k	$\, (1 - 2it)^{-k/2}$
توزيع كوشي Cauchy(μ, θ)	$\, e^{it\mu -\theta|t|}$
توزيع غاما Γ(k, θ)	$\, (1 - it\theta)^{-k}$
توزيع أسي Exp(λ)	$\, (1 - it\lambda^{-1})^{-1}$
توزيع طبيعي متعدد الحدود N(μ, Σ)	$\, e^{it'\mu - \frac{1}{2}t'\Sigma t}$

الجدول أعلاه مقتبس من الجدول الموسع للدوال المميزة لاورهيتينغر ( 1973 )