دالتا الجزء الصحيح و السقف

من ويكيبيديا، الموسوعة الحرة
اذهب إلى: تصفح، ‏ ابحث
دالة الجزء الصحيح
دالة السقف

في الرياضيات وفي علم الحاسوب، دالتا الجزء الصحيح والسقف، (بالإنكليزية: Floor and ceiling functions) تربطا عددا حقيقيا ما بأكبر عدد صحيح سابق أو أصغر عدد صحيح تابع على التوالي، حيث:

  • الجزء الصحيح لعدد حقيقي ما x هو أكبر عدد صحيح ليس أكبر من x. فصحيح العدد 2.6 هو 2 ، أى أكبر عدد صحيح ليس أكبر من 2.6 .
  • بينما سقف العدد الحقيقي x فهو أصغر عدد صحيح ولكن ليس أصغر من x. فسقف العدد 2.15 هو 3 ، أي أصغر عدد صحيح ليس أصغر من 2.15 .

الرموز المستعملة[عدل]

استعمل كارل فريدريش جاوس في عام 1808 رمز المعقوفتين [x] للدلالة على الجزء الصحيح في برهانه الثالث لمبرهنة التربيعية التبادلية. بقي هذا الرمز هو المرجع حتى أدخل كينيت إي ايفرسون في عام 1962 الكلمتين الإنجليزيتين Floor و Ceiling مع الرمزين الدالين عليهما \rfloor x\lfloor و \rceil x\lceil في كتاب له تحت عنوان لغة البرمجة.

أمثلة[عدل]

قيمة ما ل x الجزء الصحيح \lfloor x\rfloor السقف \lceil x\rceil الجزء الكسري  \{ x \}
12/5 = 2.4 2 3 2/5 = 0.4
2.7 2 3 0.7
-2.7 -3 -2 0.3
-2 -2 -2 0

التعريف و الخصائص[عدل]

تطبيقات[عدل]

ثابتة أويلر[عدل]

هناك صيغ رياضياتية تتعلق بثابتة أويلر γ = 0.57721 56649 ... تحتوي على دالتي الجزء الصحيح و السقف. على سبيل المثال[1]

\gamma =\int_1^\infty\left({1\over\lfloor x\rfloor}-{1\over x}\right)\,dx,
 \gamma =      \lim_{n \to \infty} \frac{1}{n}\, \sum_{k=1}^n \left ( \left \lceil \frac{n}{k} \right \rceil - \frac{n}{k} \right ),

و


 \gamma = \sum_{k=2}^\infty (-1)^k \frac{ \left \lfloor \log_2 k \right \rfloor}{k}
  = \tfrac12-\tfrac13
  + 2\left(\tfrac14 - \tfrac15 + \tfrac16 - \tfrac17\right)
  + 3\left(\tfrac18 - \dots - \tfrac1{15}\right) + \dots

معضلات حلحلت[عدل]

طرح رامانجن المعضلة التالية لجريدة للجمعية الرياضياتية الهندية.[2]

إذا كان n عددا صحيحا موجبا، أثبت أن:

(i)     \left\lfloor\tfrac{n}{3}\right\rfloor + \left\lfloor\tfrac{n+2}{6}\right\rfloor + \left\lfloor\tfrac{n+4}{6}\right\rfloor = \left\lfloor\tfrac{n}{2}\right\rfloor + \left\lfloor\tfrac{n+3}{6}\right\rfloor,

(ii)     \left\lfloor\tfrac12 + \sqrt{n+\tfrac12}\right\rfloor = \left\lfloor\tfrac12 + \sqrt{n+\tfrac14}\right\rfloor,

(iii)     \left\lfloor\sqrt{n}+ \sqrt{n+1}\right\rfloor = \left\lfloor \sqrt{4n+2}\right\rfloor.

معضلات لم تحلحل بعد[عدل]

انظر إلى معضلة ويرينغ.

انظر أيضا[عدل]

مراجع[عدل]

وصلات خارجية[عدل]


Midori Extension.svg
هذه بذرة مقالة بحاجة للتوسيع. شارك في تحريرها.
  1. ^ These formulas are from the Wikipedia article Euler's constant, which has many more.
  2. ^ Ramanujan, Question 723, Papers p. 332