رقاص (رياضيات)

من ويكيبيديا، الموسوعة الحرة
اذهب إلى: تصفح، ‏ ابحث
رسم متحرك لحركة البندول . نقطة السكون هي Ruheposition

بندول الرياضيات (بالإنجليزية:( Pendel (Mathematics) هو بندول بسيط يمثل حالة مثالية للبندول ، ويستخدم نموذجه لفهم الحركة الاهتزازية التوافقية .

ويتميز البندول الرياضي بالخواص الآتية:

يمكننا تحقيق البندول البسيط باستخدام ثقل صغير الحجم للبندول ونعلقه بحيط رفيع . ونظرا لاختيار حرة بطيئة لتأرجح البندول (تعتمد على طول الخيط) فتكون قوى الاحتكاك بالهواء قليلة ويمكن اهمالها .

وباختيار انزياحا صغيرا عن نقطة السكون فيكون تردد البندول معتمدا فقط على طول الخيط و الجاذبية الأرضية. وكما زادت زاوية الانزياح (زاوية أكبر انزياح) يؤثر ذلك على التردد ، فيستحسن اختيار أزاحة صغيرة لمراعاة الدقة .

وبعكس المتوقع فلا يعتمد التردد على كتلة البندول.

الوصف الرياضي[عدل]

القوة المحركة للبندول: |\vec F_\mathrm{tan}| = F_\mathrm{R}

بواسطة تحليل القوى المؤثرة على البندول يمكن تعيين معادلة الحركة له:

لدينا بندول خيطي معلق فيه كتلة m ويقع تحت تأثير عجلة الجاذبية الأرضية g فتنشأ عليه القوة (FR(t, التي تعمل مماسة للحركة القوسية للبندول . وتزداد تلك القوة التي تحاول إرجاع البندول إلى وضع السكون كلما زادت زاوية انزياحه φ عن نقطة السكون .

F_\mathrm{R}(t) =- m \cdot g \cdot \sin \left(\varphi(t) \right)

ونلاحظ عند رجوع البندول من أقصى نقطة ارتفاع له أن سرعته تزداد في اتجاه نقطة السكون ، وبعد تخطيها تتناقص سرعته وهو في طريقه إلى أعلى نقطة على الناحية الثانية . وتغير سرعة البندول تعني أن كتلة البندول يعتريها تسارع مماسا لاتجاه حركتة القوسية. وطبقا لقانون نيوتن الثاني ينشأ التسارع بسبب تأثير قوة على البندول وتتناسب معه .

F_\mathrm{a}(t) = m \cdot a_\mathrm{tan}(t)

بالتعويض عن التسارع المماسي يمكننا صياغة العلاقة بين القوة المماسة ومعدل تغير الزاوية :

a_\mathrm{tan}(t)= l \cdot \ddot{\varphi}(t)
F_\mathrm{a}(t) = m \cdot l \cdot \ddot{\varphi}(t)

حيث: \ell طول الخيط .

(ملحوظة : تحتاج هذه الخطوة معرفة حساب التفاضل ، حيث   \ddot{\varphi}(t) المشتقة التفاضلية الثانية للزاوية بالنسبة للزمن .)

ونظرا لأن تلك هي القوة الوحيدة المؤثرة على البندول ولا توجد قوى مشوشرة أخرى فيمكننا مساواة المعادلتين بعضهما البعض ، فنحصل على معادلة تفاضلية من الدرجة الثانية :

F_\mathrm{a}(t) = F_\mathrm{R}(t)
- m \cdot g \cdot \sin \left(\varphi(t) \right) = m \cdot l \cdot \ddot{\varphi}(t)
0 = \frac{g}{l} \cdot \sin \left(\varphi(t) \right) + \ddot{\varphi}(t)

وباعتبار أن زاوية الانزياح صغيرة يمكن الحصول على التقريب الآتي للمعادلة :

\sin (\varphi) \approx \varphi

وبالتعويض نحصل على معادلة تفاضلية خطية من الدرجة الثانية ، وحلها يعطينا معادلة الاهتزاز :

0 = \frac{g}{l} \cdot \varphi(t) + \ddot{\varphi}(t)
\varphi(t) = \hat \varphi \cdot \sin \left( \sqrt{\frac{g}{l}} \cdot t + \varphi_0 \right)

في تلك المعادلة ترمز \hat \varphi إلى "مطال الزاوية" و φ0 ترمز إلى طور الزاوية الابتدائي عند الزمن t = 0. وبالتالي نحصل على التردد الزاوي للبندول \omega_0 و زمن الدورة T لتلك الحركة الاهتزازية .

\omega_0 = \sqrt{\frac{g}{l}}
T = 2 \pi \sqrt{\frac{l}{g}}

ومن تلك المعادلتين أن كلا من تردد الهزاز زدورته تعتمدان فقط على طول الخيط وعجلة الجاذبية الأرضية ، ولا تعتمد على كتلة البندول.

المصادر[عدل]

  • David Halliday (2001). Fundamentals of Physics , 6th ed, John Wiley & sons, Inc, New York.

اقرأ أيضا[عدل]