رقاص (رياضيات)

رسم متحرك لحركة البندول . نقطة السكون هي Ruheposition

بندول الرياضيات (بالإنجليزية:( Pendel (Mathematics) هو بندول بسيط يمثل حالة مثالية للبندول ، ويستخدم نموذجه لفهم الحركة الاهتزازية التوافقية .

ويتميز البندول الرياضي بالخواص الآتية:

لا يوجد معه احتكاك

تتمركز كتلة البندول في نقطة ، وتعتبر كتلة الخيط مهملة .

يمكننا تحقيق البندول البسيط باستخدام ثقل صغير الحجم للبندول ونعلقه بحيط رفيع . ونظرا لاختيار حرة بطيئة لتأرجح البندول (تعتمد على طول الخيط) فتكون قوى الاحتكاك بالهواء قليلة ويمكن اهمالها .

وباختيار انزياحا صغيرا عن نقطة السكون فيكون تردد البندول معتمدا فقط على طول الخيط و الجاذبية الأرضية. وكما زادت زاوية الانزياح (زاوية أكبر انزياح) يؤثر ذلك على التردد ، فيستحسن اختيار أزاحة صغيرة لمراعاة الدقة .

وبعكس المتوقع فلا يعتمد التردد على كتلة البندول. وزن

الوصف الرياضي [عدل]

القوة المحركة للبندول: $|\vec F_\mathrm{tan}| = F_\mathrm{R}$

بواسطة تحليل القوى المؤثرة على البندول يمكن تعيين معادلة الحركة له:

لدينا بندول خيطي معلق فيه كتلة m ويقع تحت تأثير عجلة الجاذبية الأرضية g فتنشأ عليه القوة (F_R(t, التي تعمل مماسة للحركة القوسية للبندول . وتزداد تلك القوة التي تحاول إرجاع البندول إلى وضع السكون كلما زادت زاوية انزياحه φ عن نقطة السكون .

$F_\mathrm{R}(t) =- m \cdot g \cdot \sin \left(\varphi(t) \right)$

ونلاحظ عند رجوع البندول من أقصى نقطة ارتفاع له أن سرعته تزداد في اتجاه نقطة السكون ، وبعد تخطيها تتناقص سرعته وهو في طريقه إلى أعلى نقطة على الناحية الثانية . وتغير سرعة البندول تعني أن كتلة البندول يعتريها تسارع مماسا لاتجاه حركتة القوسية. وطبقا لقانون نيوتن الثاني ينشأ التسارع بسبب تأثير قوة على البندول وتتناسب معه .

$F_\mathrm{a}(t) = m \cdot a_\mathrm{tan}(t)$

بالتعويض عن التسارع المماسي يمكننا صياغة العلاقة بين القوة المماسة ومعدل تغير الزاوية :

$a_\mathrm{tan}(t)= l \cdot \ddot{\varphi}(t)$

$F_\mathrm{a}(t) = m \cdot l \cdot \ddot{\varphi}(t)$

حيث: $\ell$ طول الخيط .

(ملحوظة : تحتاج هذه الخطوة معرفة حساب التفاضل ، حيث $\ddot{\varphi}(t)$ المشتقة التفاضلية الثانية للزاوية بالنسبة للزمن .)

ونظرا لأن تلك هي القوة الوحيدة المؤثرة على البندول ولا توجد قوى مشوشرة أخرى فيمكننا مساواة المعادلتين بعضهما البعض ، فنحصل على معادلة تفاضلية من الدرجة الثانية :

$F_\mathrm{a}(t) = F_\mathrm{R}(t)$

$- m \cdot g \cdot \sin \left(\varphi(t) \right) = m \cdot l \cdot \ddot{\varphi}(t)$

$0 = \frac{g}{l} \cdot \sin \left(\varphi(t) \right) + \ddot{\varphi}(t)$

وباعتبار أن زاوية الانزياح صغيرة يمكن الحصول على التقريب الآتي للمعادلة :

$\sin (\varphi) \approx \varphi$

وبالتعويض نحصل على معادلة تفاضلية خطية من الدرجة الثانية ، وحلها يعطينا معادلة الاهتزاز :

$0 = \frac{g}{l} \cdot \varphi(t) + \ddot{\varphi}(t)$

$\varphi(t) = \hat \varphi \cdot \sin \left( \sqrt{\frac{g}{l}} \cdot t + \varphi_0 \right)$

في تلك المعادلة ترمز $\hat \varphi$ إلى "مطال الزاوية" و φ₀ ترمز إلى طور الزاوية الابتدائي عند الزمن $t = 0$ . وبالتالي نحصل على التردد الزاوي للبندول $\omega_0$ و زمن الدورة $T$ لتلك الحركة الاهتزازية .