رمز براكيت

مقدمة ميكانيكا الكم

${\Delta x}\, {\Delta p} \ge \frac{\hbar}{2}$

مبدأ الريبة

المقدمة · الصياغة الرياضية خلفية ميكانيكا كلاسيكية النظرية الكمومية القديمة تداخل · ترميز برا-كيت هاملتوني مصطلحات أساسية حالة كمومية · دالة الموجة تراكب · تشابك القياس · الارتياب أو اللاتحديد الاستبعاد · المثنوية Decoherence · مبرهنة إيهرينفيست · عبور النفق تجارب تجربة الشق المزدوج تجربة دافيسون-غيرمر تجربة شتيرن-غيرلاش تجربة لامساواة بل تجربة بوبر قطة شرودنغر Elitzur-Vaidman bomb-tester ماحي كمومي معادلات معادلة شرودنغر معادلة باولي Klein–Gordon equation معادلة ديراك معادلة رايدبيرغ تفسيرات تفسير كوبنهاجن · تفسير إحصائي نظرية المتغير الخفي · Transactional تفسير العوالم · Consistent histories Relational · منطق كمومي مواضيع متقدمة نظرية الحقل الكمومي ثقالة كمومية نظرية كل شيء علماء بلانك · أينشتاين · بور · سومرفيلد · بوز · كرامرز · هايزنبرج· بورن · جوردان · باولي · ديراك · دي برولي ·شرودنجر · فون نيومان · فيجنر · فاينمان · كاندلين · Bohm · إيفيريت · Bell · فين

رمز براكيت تم إدخاله من طرف بول ديراك لتسهيل كتابة معادلات ميكانيكا الكم، و أيضا لإظهار الجانب المتجهي للشيئ المُمثِل للحالة الكمومية. (انظر مسلمات ميكانيكا الكم) .
التسمية جاءت من الأصل الإنجليزي (bracket) و التي تعني "المعقوفتين" "$\langle$" و "$\rangle$" و المسماة "ket" "كيت" و "bra" "برا" على التوالي. هذه الكتابة تم أخدها لدراسة جبر المؤثرات في الرياضيات حيث مجال التطبيق عريض جداً.

أصل الصياغة

الدوال الموجية الكمية هي نسبية، مرتبطة و لها علاقة بالزمن و خصائص أخرى للجسيمات (اللف المغزلي، الزخم المغناطيسي...):

$\Psi(t,x,y,z,\sigma,\ldots)$


لتكون حلول لمعادلة شرودنغر:

$i \hbar \partial _t \Psi(t, x, \ldots)=-\frac{\hbar^2}{2m}\Delta \Psi(t, x, \ldots)+V(x, \ldots)\Psi(t, x, \ldots)$

يجب أن تكون موحدة،

$\int \Psi^*(t, x, \ldots)\Psi(t, x, \ldots) \,\mathrm dx \ldots=1$

معنى توحيد الدالة التي تصف الجسيم ، أن الجسيم موجود بنسبة 100% (أي احتمال =1) في المكان بين 0 إلى مالانهاية .

و قيم قياس فيزيائي $A$ (تسمى مطال الدالة) تعبر عن احتمال وجود الجسيم في النقطة x , y, z في النقطة الزمنية tونحصل عليها ب:

$\int \Psi^*(t, x, \ldots)A(x, \partial_x, \ldots)\Psi(t, x, \ldots) \,\mathrm dx \ldots= \langle A\rangle$

تستند كتابة ديراك على تحديد التكامل السابق مع جداء هرميتي في فضاء الدوال دات القيم العقدية للأس المربع القابل للجمع L²:

$\int \Psi^*(t, x, \ldots)\Psi(t, x, \ldots) \,\mathrm dx \ldots=\langle \Psi, \Psi\rangle$

وبالتعميم على دالتين $\Phi(t, \dots)$ و $\Psi(t, \dots)$ :

$\int \Phi^*(t, x, \ldots)\Psi(t, x, \ldots) \,\mathrm dx \ldots=\langle \Phi, \Psi\rangle$

يُرمز له في ميكانيكا الكم: $\langle \Phi\mid \Psi\rangle$

نحدد بالتالي:

• الدالة $\Psi(t, x, y, z, \sigma, \dots)$ مع متجهة $|\Psi\rangle$ تُسمى "كيت" $\Psi$.
• التابعي الرياضي المزدوج $\textstyle\int \Phi^*(t, x, \ldots) \,\mathrm dx \ldots$ مع $\langle \Phi|$ يُسمى "برا" $\Phi$، زوج ل "كيت" $\Psi$.

من ناحية أخرى في صياغة هايزنبرج، الحلول ليست دوال، بل متجهات في فضاء متجهات الحالات، مما يجعل التحديد مباشر أكثر.

كيت

لتكن متجهة في فضاء الحالات، يُرمز لها ب $| u \rangle$ تُسمى "المتجهة كيت" أو "كيت"
زوجين من "كيت" يُكونان فضاء متجهي خطي، و بالتالي، إذا كانت $\lambda_1$ و $\lambda_2$ أعداد عقدية :

$| v \rangle = \lambda_1 \cdot | u_1 \rangle + \lambda_2 \cdot | u_2 \rangle$

إذن:$v$ هو "كيت".
و بالذهاب بعيدا، إذا كان $|x\rangle$ مرتبط بمؤشر متواصل $x$، و إذا كان $f$ دالة عُقدية موحدة في $[x_1\, ,x_2]$، فإن:

$| u \rangle = \int_{x_1}^{x_2}f(x). | x \rangle \mathrm dx$ هو "كيت".

برا

نقرن كل "كيت" في فضاء $\varepsilon$،ب عدد مركب. نحدد لهذه الغاية تابعي خطي $\chi$، بحيث:

$\chi : | \psi \rangle \rightarrow \lambda = \chi(\psi)$, و

$\chi{( \lambda_1 \cdot | \psi_1 \rangle + \lambda_2 \cdot | \psi_2 \rangle )} = \lambda_1 \cdot \chi{( | \psi_1 \rangle )} + \lambda_2 \cdot \chi{( | \psi_2 \rangle )}$

مجموعة هذه التابعيات الخطية تكون فضاء متجهي $\varepsilon^*$ يُسَمى "فضاء زوجي ل $\varepsilon$". نسمي "متجه برا" أو "برا" كل عنصر من هذه المجموعة و نرمز له ب: $\langle \phi |$.
و بالتالي إذا كان التابعي الخطي $\chi$ يؤثر على $| \psi \rangle$، نحصل على :

$\chi{( | \psi \rangle )} = \lambda = \langle \phi \mid \psi \rangle$

انظر أيضا

ميكانيكا الكم

المراجع

• Feynman, Leighton and Sands (1965). The Feynman Lectures on Physics Vol. III. Addison-Wesley. ISBN 0-201-02115-3.

وصلات خارجية

• (إنجليزية)Richard Fitzpatrick, "Quantum Mechanics: A graduate level course", The University of Texas at Austin
  • (إنجليزية) 1. Ket space
  • (إنجليزية) 2. Bra space
  • (إنجليزية) 3. Operators
  • (إنجليزية) 4. The outer product
  • (إنجليزية) 5. Eigenvalues and eigenvectors
• (إنجليزية)Robert Littlejohn, Lecture notes on "The Mathematical Formalism of Quantum mechanics", including bra-ket notation.