زمرة (رياضيات)

الأشكال التي يأخذها مكعب روبيك تكون زمرة.

مفهوم رياضي
المسمى العربي	زمرة أو مجموعة
المسمى اللاتيني	Group
الرمز العربي	غير معرف
الرمز اللاتيني	$G(S, *)\,$
رياضيون	إيفاريست جالوا
نظريات ومسلمات	نظرية الزمر
كتب ومراجع

في الرياضيات، الزمرة group هي مجموعة مزودة بعملية ثنائية وتحقق مجموعة من الشروط أو البدبهيات. مجموعة الأعداد الصحيحة تشكل زمرة بالنسبة لعملية الجمع وتعتبر مثالا للزمر. تدرس الزمر في فرع من الرياضيات يدعى نظرية الزمر.

نشأت نظرية الزمر على يد إيفاريست جالوا في عام 1830، وهي تهتم أساسا بمشكلة إيجاد متى يكون كثير حدود أو معادلة جبرية قابلا للحلحلة أي له حلول أو جذور. قبل هذه النظرية كانت الزمر تدرس أساسا ضمن إطار دراسة التباديل.

تعريف وتوضيح

المثال الأول : الأعداد الصحيحة

واحدة من أهم الزمر الاعتيادية هي مجموعة الأعداد الصحيحة Z والتي تتكون من الأعداد التالية :

..., 4, 3, 2, 1, 0, 1-, 2-, 3-, 4- , ...

الخصائص التالية لعملية جمع الأعداد الصحيحة هي نموذج للبديهيات المجردة للزمر.

1. مجموع عددين صحيحين هو عدد صحيح. ولا يمكن نهائيا أن يكون مجموع عددين صحيحين عددا غير صحيح. تعرف هاته الخاصية باسم الانغلاق بالنسبة للجمع.
2. بالنسبة لثلاثة أعداد a و b و c، فإن (a + b) + c = a + (b + c). أي أنه إذا جُمعت a و b أولا، ثم أُضيفت c، فسيُحصل على نفس النتيجة إذا ما جمعت a مع حاصل مجموع b و c. تعرف هاته الخاصية باسم التجميعية.
3. إذا كان a عددا صحيحا، فإن a + 0 == 0 + a == a. الصفر يسمى عنصرا محايدا.
4. لكل عدد صحيح a، يوجد عدد صحيح b حيث a + b == b + a == 0. العدد الصحيح b يسمى العنصر النظير للعدد a ويُرمز إليه ب a-.

تعريف

الزمرة أو المجموعة الوظيفية^{[بحاجة لمصدر]} في الرياضيات هي عبارة عن مجموعة $G\!$ مزودة بعملية ثنائية يرمز لها ب $\bullet$ ¹ بحيث يربط كل ثنائية مرتبة $(a, b)\!$ من عناصر $G\!$ عنصر $(a \bullet b)$ من $G\!$ بحيث يحقق البديهيات Axioms التالية:

أن مجموعة ما $\ G$ من $e, g_{1}, g_{2},... \in G$ تسمى زمرة، مع وجود عملية رياضياتية خاصة (.) تدعى "تكوين الزمرة" (Group Composition)، إذا تحقق ما ياتي:

1. الانغلاق: وهو أن نتيجة تطبيق العملية على عناصر من الزمرة تنتمي للزمرة نفسها. $\forall a, b \in G : a \bullet b \in G$
2. التجميع: $a \bullet(b \bullet c) = (a \bullet b)\bullet c \ \forall a, b, c \in G$
3. وجود العنصر الحيادي (قد يسمى العنصر المحايد) : $\exists \ e \in G : a \bullet e = e \bullet a = a \ \forall a \in G$
4. وجود العنصر النظير أو المتمم أو العكسي : $\forall a \in G, \exists \ \acute{a} \in G : a \bullet \acute{a} = \acute{a} \bullet a = e$

تدعى الزمرة أبيلية (نسبة لعالم الرياضيات نيلس هنريك أبيل) إذا حققت شرطا إضافيا هو شرط التبديل (أو الإبدال أو التبادلية): $a \bullet b = b \bullet a \ \forall a, b \in G$

المثال الثاني : زمرة التماثل

التطابق يترك كل عنصر على حاله	r1 (الدوران ب 90° يمينا)	r2 (الدوران ب 180° يمينا)	r3 (الدوران ب 270° يمينا)
fv (vertical flip)	fh (horizontal flip)	fd (diagonal flip)	fc (counter-diagonal flip)
عناصر زمرة التماثل للمربع (D4). لُونت ورُقمت رؤوس المربع فقط من أجل توضيح العملية.

التاريخ

مقال تفصيلي :تاريخ نظرية الزمر

تطور المفهوم العصري للزمرة المجردة انطلاقا من مجموعة من مجالات الرياضيات. أول حافز نحو نظرية الزمر هو محاولة حلحلة المعادلات الحدودية من الدرجة الخامسة فما فوق. عالم الرياضيات الفرنسي إيفاريست جالوا والذي عاش في القرن التاسع عشر، مطورا أعمال كل من باولو روفيني وجوزيف لاغرانج، أعطى معيار قابلية حلحلة معادلة حدودية ما، بالنظرإلى زمرة التماثل المكونة من جذور هاته الحدودية. عناصر هاته الزمرة والمسماة زمرة غالوا، تتطابق مع تباديلٍ ما للجذور. في البداية، أفكار غالوا رُفضت من طرف معاصريه، ولم تنشر إلا بعد وفاته. درست زمر التبديل الأكثر تعميما, فيما بعد, وبشكل خاص من طرف أوغستين لوي كوشي. أرثور كايلي في كتابه حول نظرية الزمر، لكونها تتعلق بالمعادلة الرمزية θⁿ = 1, (المنشور عام 1854), أعطى أول تعريف مجرد للزمر المنتهية.
كانت الهندسة الرياضية المجال الثاني حيث تستعمل الزمر بشكل منهجي, وخصوصا زمر التماثل كجزء من برنامج ارلنغن، عمل نشره فيليكس كلاين عام 1872. بالإضافة إلى تطوير سوفوس لي لجميع هاته الأفكار، فلقد أسس دراسة زمر لي. كان ذلك عام 1884.

أما المجال الثالث الذي كان وراء تطور نظرية الزمر، فهو نظرية الأعداد. بُنى بعض الزمر الأبيلية استعملت بصفة غير مقصودة في عمل كارل فريدريش غاوس حول نظرية الأعداد، والذي يحمل عنوان استفسارات حسابية (عام 1798) ; كما استعملت أيضا بصفة مقصودة من طرف ليوبلد كرونكر. في عام 1847، كان إرنشت كومر م بين العلماء الأوائل الذين حاولوا حلحلة مبرهنة فيرما الأخيرة, وذلك بتطوير زمر تصف تفكيك عدد صحيح إلى جداء أعداد أولية.

اقتراب واندماج مختلف هاته المصادر لتشكل نظرية متماسكة للزمر ابتدأ مع مجيىء كامي جوردان وعمله معالجة الاستبدالات والمعادلات الجبرية. كان ذلك في عام 1870.

النتائج الابتدائية لبديهيات الزمر

مقال تفصيلي :نظرية الزمر الابتدائية

وحدة العنصر المحايد ووحدة العناصر المقابلة

للبديهيات المعرِفة للزمر نتيجتان مهمتان هما : وحدة العنصر المحايد ووحدة العنصر المقابل. لا يمكن لزمرة ما أن تحتوي إلا على عنصر محايد واحد. وكل عنصر في الزمرة يملك عنصرا مقابلا واحدا بالظبط (لا يمكن له أن لا يملك نهائيا عنصرا مقابلا ولا يمكن له أن يملك عنصرين مقابليان فأكثر)

القسمة

في الزمر، يمكن القيام بعملية القسمة : ليكن a و b عنصرين من الزمرة G، إذن هناك حل وحيد x للمعادلة x • a == b. فعليا, ضرب حدي هاته المعادلة بالعنصر a⁻¹ من الجهة اليمنى يعطي الحل x = x • a • a⁻¹ == b • a⁻¹

أمثلة وتطبيقات

مقالات تفصيلية :أمثلة للزمر و تطبيقات نظرية الزمر

الأعداد

مجموعة من أنظمة الأعداد، كنظامي الأعداد الصحيحة والأعداد الجذرية تتمتع نبُنى الزمر. في حالات معينة، كما هو الحال بالنسبة إلى الأعداد الجذرية، كل من عمليتي الجمع والضرب يمثل بنية زمرة. تمثل هذه الأنظمة القاعدة التي وضعت على بُنى جبرية أخرى أكثر عمومية هي الحلقات والحقول.

الأعداد الصحيحة

وصفت زمرة الأعداد الصحيحة تحت عملية الجمع أعلاه. ويرمز إليها ب (+ ,Z). مجموعة الأعداد الصحيحة بالنسبة إلى عملية الضرب لا تمثل زمرة : بديهيات الانغلاق والتجميعية والعنصر المحايد كلها محققة، ولكن بديهية العنصر المقابل غير محققة. فعلى سبيل المثال، a == 2 هو عدد صحيح، ولكن العنصر المقابل له هو العدد الذي يحقق المعادلة a · b = 1 هو b == 1/2. وهو عدد غير صحيح ولكنه جذري. هكذا ليس لكل عنصر من Z نظير من حيث الجداء.

الزمر الدائرية

مقالات تفصيلية :زمرة دائرية و زمرة أبيلية

الجذور العقدية الست من الدرجة السادسة للوحدة تكون زمرة دائرية في إطار عملية الضرب. يعتبر z عنصرا بدائيا بينما z² ليس كذلك لأن القوى الفردية ل z ليست قوى ل z².

زمرة دائرية هي زمرة جميع عناصرها هي قوى لعنصر a ما. باستعمال الرموز المعتمدة على الجداء، فإن عناصر الزمرة هي :

..., a⁻³, a⁻², a⁻¹, a⁰ = e, a, a², a³,...

حيث a² تعني a • a.

هذا العنصر يسمى العنصر المولد للزمرة.

المثال النوعي لهذا الصنف من الزمر هو الزمرة المكونة من الجذور العقدية للوحدة من الدرجة n واللائي يعطيها العدد العقدي z الذي يحقق المعادلة zⁿ = 1 وحيث عملية الزمرة هو الجداء. كل زمرة دائرية عدد عناصرها هو n, مرتنطة بهدة الزمرة السابقة الذكر، بتطبيق مساوي للقياس.

بعض الزمر الدائرية لها عدد غير منته من العناصر. في هذه الزمر، بالنسبة لكل عنصر a مختلف عن الصفر، جميع قوى a مختلفة عن بعضها البعض. رغم استعمال مصطلح دائري، فإن عناصر الزمرة لا تدور، كما هو الحال بالنسبة لزمرة جذور الوحدة المشار إليها أعلاه.

زمر التماثل

مقال تفصيلي :زمرة التماثل

الزمر الخطية العامة ونظرية التمثيل

مقالات تفصيلية :زمرة خطية عامة و نظرية التمثيل

زمر غالوا

مقال تفصيلي :زمرة غالوا

الزمر المنتهية

مقال تفصيلي :زمرة منتهية

إذا كانت الزمرة منتهية, أي أنها تحتوي على عدد منتهٍ من العناصر, فإنها تسمى بالزمرة المنتهية ويُعرّف «ترتيب» الزمرة (بالإنجليزية: Order) أنّه عدد عناصر المجموعة التابعة لها.

تصنيف الزمر البسيطة المنتهية

مقال تفصيلي :تصنيف الزمر البسيطة المنتهية

زمر ببُنى إضافية

زمر طوبولوجية

مقال تفصيلي :زمرة طوبولوجية

زمر لي

مقال تفصيلي :زمرة لي

سميت هكذا نسبة إلى عالم الرياضيات سوفوس لي.

انظر أيضا

• متتالية منضبطة,
• زمرة أبيلية.

هامش

1 الرمز $\bullet$ يشير إلى عملية ثنائية رياضية كالجمع والضرب...الخ