زمرة (رياضيات)

من ويكيبيديا، الموسوعة الحرة
اذهب إلى: تصفح، ‏ ابحث
الأشكال التي يأخذها مكعب روبيك تكون زمرة.
مفهوم رياضي
المسمى العربي زمرة أو مجموعة
المسمى اللاتيني Group
الرمز العربي غير معرف
الرمز اللاتيني G(S, *)\,
رياضيون إيفاريست جالوا
نظريات ومسلمات نظرية الزمر
كتب ومراجع

الزمرة (بالإنكليزية: Group) في الرياضيات هي بنية جبرية تصف وتُجسد مفهوم التناظر، تتكون من مجموعة من العناصر مزودة بعملية ثنائية تُخرج ناتجًا تتحقق فيه أربعة شروط تسمى البدبهيات وهي الانغلاق والتجميعية ووجود العنصر المحايد ووجود العنصر المعاكس، ما يجعلها تطبيقًا للبديهيات في الجبر المجرد. يسمح مبدأ الزمر القائم على تصنيف العناصر وعملياتها الثنائية على أساس طبيعتها، بالتعامل بمرونة مع الكيانات ذات الأصول الرياضية المتنوعة في الجبر المجرد وغيره مع الحفاظ على جوانبها البنيوية الأساسية. إن الاستخدام الواسع للزمر في مجالات عديدة داخل لرياضيات وخارجها جعلها مبدأً تنظيميًّا محوريًّا في الرياضيات المعاصرة.[1][2] تمثل مجموعة الأعداد الصحيحة زمرة بالنسبة لعملية الجمع وتعد مثالًا للزمر، ومن الأمثلة الأخرى على الزمر الأعداد الكسرية غير الصفرية مع عملية الضرب، والتناظر في الشكل الهندسي المنتظم، وزمرة المصفوفات التي لا تساوي محدداتها الصفر والتماثلات الذاتية للبنى الجبرية المختلفة. تُدْرس الزمر في فرع من الرياضيات يدعى نظرية الزمر.

ترتبط الزمر ارتباطًا أساسيًّا بفكرة التناظر، فزمرة التماثل (على سبيل المثال) ترمز إلى خصائص تناظر كائنٍ هندسيٍّ: تتكون تلك الزمرة من مجموعة من التحويلات التي تترك الكائن دون تغيير، وعملية هذه الزمرة هي الجمع بين اثنين من هذه التحويلات بحيث تجمع الواحدة تلو الأخرى، وتصنَّف زمر لي المستخدمة في نظرية النموذج العياري في فيزياء الجسيمات زمرَ تماثل، وكذلك تساعد زمرة النقاط في فهم التناظر في الكيمياء الجزيئية، وتعبر زمر بوانكاريه عن التناظر الفيزيائي الكامن وراء النسبية الخاصة.

نشأت نظرية الزمر على يد إيفاريست جالوا في ثلاثينيات القرن التاسع عشر، وهي تهتم أساسًا بمشكلة إيجاد متى تكون معادلة جبرية كثيرة الحدود قابلة للحلحلة أي لها حلول أو جذور، إذ أثبت أن المعادلات كثيرة الحدود لا تُحل بالجذور بصفة عامة. بعد ذلك أخذ مفهوم الزمر يُستخدم في المجالات الأخرى مثل نظرية الأعداد والهندسة، ليعمَّم مفهوم الزمرة ويرسخ في حوالي عام 1870. أصبحت نظرية الزمر فرعًا في الرياضيات يدرس الزمر في حد ذاتها.أ[›] قسم الرياضياتيون نظرية الزمر إلى عدة أجزاء لتسهيل فهم الزمر واستكشافها، مثل الزمر الجزئية وزمر خارج القسمة والزمر البسيطة. لا يهتم المختصون بنظرية الزمر بدراسة خصائص الزمر التجريدية فقط، بل إن جانبًا من نظرية الزمر يهتم بدراسة الطرق التي تعبر عنها تعبيرًا ملموسًا أو ما يُعرف بتمثيلات الزمر، والتي لها أهميتها في العديد من المجالات، ففي فيزياء الجسيمات تستخدم في نظريات كالحقل الكمومي والأوتار، وفي المعلوماتية توجد زمر للتشفير والترميز ومعالجة الصور، وفي علم البلورات تستخدم في توضيح التناظر في الشبكات البلورية. وُضعت نظرية للزمر المنتهية وتُوجت بوضع تصنيف الزمر المنتهية البسيطة الذي أُعلن عنه عام 1983.أأ[›] أصبحت نظرية الزمر الهندسية، التي تهتم بدراسة الزمر المولدة بشكل منتهٍ مثل الكائنات الهندسية، قسمًا نشطًا في نظرية الزمر في منتصف ثمانينيات القرن العشرين.

تعريف وتوضيح[عدل]

المثال الأول: الأعداد الصحيحة[عدل]

من أشهر الأمثلة على الزمر مجموعة الأعداد الصحيحة Z، وهي تتكون من الأعداد التالية:

..., 4, 3, 2, 1, 0, 1-, 2-, 3-, 4- , ...[3] إلى جانب عملية الجمع.

الخصائص التالية لعملية جمع الأعداد الصحيحة هي نموذج للبديهيات المجردة للزمر.

  1. مجموع عددين صحيحين هو عدد صحيح. ولا يمكن نهائيا أن يكون مجموع عددين صحيحين عددًا غير صحيح. تعرف هاته الخاصية باسم الانغلاق بالنسبة للجمع.
  2. بالنسبة لثلاثة أعداد a و b و c، فإن (a + b) + c = a + (b + c). أي أنه إذا جُمعت a و b أولًا، ثم أُضيفت c، فسيُحصل على نفس النتيجة إذا ما جمعت a مع حاصل مجموع b و c. تعرف هاته الخاصية باسم التجميعية.
  3. إذا كان a عددًا صحيحًا، فإن a + 0 = 0 + a = a. الصفر يسمى عنصرا محايدا.
  4. لكل عدد صحيح a، يوجد عدد صحيح b حيث a + b = b + a = 0. العدد الصحيح b يسمى العنصر المعاكس للعدد a ويُكتب a-.

وتشكل زمرة الأعداد الصحيحة مع عملية الجمع كائنًا رياضيًّا ينتمي إلى تصنيف واسع من الكائنات الأخرى تشاركه خصائصه البنيوية. وقد طُور التعريف المجرد التالي لفهم هذه البنى فهمًا شاملًا.

تعريف[عدل]

بديهيات الزمر قصيرة وطبيعية... ومع ذلك وبطريقة ما يوجد وراء هذه البديهيات ما يُعرف بزمرة الوحش البسيطة، وهو كائن رياضياتي ضخم وغريب من الواضح أن وجودها يعتمد على العديد من المصادفات الغريبة. لا تعطي بديهيات الزمر أي إشارة واضحة لوجود مثل هذه الأشياء.

ريتشارد بورشردس (2009, مذكور في كتاب Group theoryلجيمس مالين، [1])

الزمرة هي مجموعة G\! مزودة بعملية ثنائية يرمز لها بالرمز \bullet وتسمى قانون الزمرة للمجموعة G\! أو عملية المجموعة، تربط كل عنصرين اثنين a و b من عناصرها بعنصر ثالث ينتمي إلى نفس الزمرة c. توجد عدة طرق للتعبير عن عملية الزمرة كتابةً، منها c = a \bullet b أو c = ab، وفي الزمر الأبيلية غالبًا ما تُكتب c = a + b، وتُستخدم طرق أخرى للتعبير عن عمليات الزمر مثل c = a \circ b أو c = a * b. وكل من المجموعة والعملية (G, \bullet) يحققان البديهيات التالية:[4][5]

الانغلاق
لكل a، b من عناصر المجموعة G\! يكون ناتج العملية a \bullet b منتميًا أيضًا إلى المجموعة G\!.ب[›]
التجميعية
a \bullet(b \bullet c) = (a \bullet b)\bullet c \ \forall a, b, c \in G
وجود العنصر المحايد
\exists \ e \in G : a \bullet e = e \bullet a = a \ \forall a \in G
يسمي العنصر e هنا بالعنصر المحايد.
وجود العنصر المعاكس
\forall a \in G, \exists \ \acute{a} \in G : a \bullet \acute{a} = \acute{a} \bullet a = e

هذا وقد يتغير ناتج العملية بتغير ترتيب أطرافها، وبعبارة أخرى فإن ناتج دمج العنصر a مع العنصر b ليس بالضرورة أن يساوي ناتج دمج العنصر b مع العنصر a، فهذه المعادلة:

a \bullet b = b \bullet a

قد لا تكون صحيحة دائمًا. تتحقق هذه المعادلة دائمًا في زمرة الأعداد الصحيحة بالنسبة لعملية الجمع؛ وهذا لأن a + b = b + a لأي عددين صحيحين (إبدالية الجمع). ويطلق على الزمر التي تحقق دومًا المعادلة a \bullet b = b \bullet a الزمر الأبيلية (تخليدًا لنيلس أبيل). وتعد زمرة التماثل مثالًا للزمر غير الأبيلية.

المثال الثاني: زمرة التماثل[عدل]

يتطابق الشكلان في في نفس المستوى إذا أمكن أن يحوَّل أحدهما إلى الآخر باستخدام مزيج من الدورانات والانعكاسات والانزلاقات. يتطابق كل شكل بديهيًّا مع نفسه. ومع ذلك فإن بعض الأشكال تتطابق مع نفسها بعدة طرق. تسمى هذه التطابقات الإضافية التماثلات. للمربع ثمانية تماثلات، كما توضح تلك الصور:

Group D8 id.svg
id(بترك كل عنصر على حاله)
Group D8 90.svg
r1 (بالدوران 90° يمينًا)
Group D8 180.svg
r2 (بالدوران 180° يمينًا)
Group D8 270.svg
r3 (بالدوران 270° يمينًا)
Group D8 fv.svg
fv (بالانعكاس عموديًّا)
Group D8 fh.svg
fh (بالانعكاس أفقيًّا)
Group D8 f13.svg
fd (بالانعكاس القطري)
Group D8 f24.svg
fc (بالانعكاس القطري المعاكس)
عناصر زمرة التماثل للمربع (D4). لُونت ورُقمت رؤوس المربع فقط من أجل توضيح العملية.
  • العملية المحايدة تحفظ الشكل من التغيير كما في الشكل id.
  • دوران المربع حول مركزه بزوايا 90° يمينًا و 180° يمينًا، 270° يمينًا ينتج عنه الأشكال r1 و r2 و r3 على الترتيب.
  • الانعكاس عبر المحورين العمودي والأفقي يعطي الشكلين fh و fv، والانعكاس عبر القطرين يعطي fd و fc.

تنتج هذه التماثلات عن مجموعة من الدوال، يقوم كل منها بإرسال نقطة في المربع إلى النقطة المناظرة لها في إطار التماثل. على سبيل المثال، في الشكل r1 ترسل الدالة كل نقطة إلى صورتها بالدوران 90° يمينًا حول مركز المربع، أما في الشكل fh فترسل كل نقطة إلى انعكاسها عبر محور المربع العمودي، وتركيب اثنتين من دوال التماثل الموجودة في الأشكال أعلاه يعطي دالة تماثل أخرى. هذه التماثلات ترسم حدود زمرة تسمى الزمرة الزوجية وهي من الدرجة 4 ورمزها D4، ومجموعة تلك الزمرة هي تلك المجموعة من دوال التماثل، وعمليتها هي تركيب الدوال.[6] يمكن الجمع بين اثنين من التماثلات من خلال تركيب دالتيهما، بمعنى تطبيق الدالة الأولي على المربع، ومن ثم تطبيق الدالة الثانية على نتيجة الدالة الأولى. تُكتب نتيجة تطبيق الدالة الأولى a ثم الدالة الثانية b رمزيًّا من اليمين إلى اليسار كالتالي:

b \bullet a (الترميز من اليمين إلى اليسار هو نفسه المتبع عند تركيب الدوال).

يعدد جدول الزمرة على اليسار نتائج جميع هذه التراكيب الممكنة. على سبيل المثال، بالدوران بزاوية 270° يمينًا (r3) ثم قلب الناتج أفقيًّا (fh) نحصل على نفس الناتج الذي نحصل عليه بالانعكاس القطري (fd). بالاستعانة بالجدول نستنتج أن:

f_h \bullet r_3 = f_d

جدول زمرة D4
id r1 r2 r3 fv fh fd fc
id id r1 r2 r3 fv fh fd fc
r1 r1 r2 r3 id fc fd fv fh
r2 r2 r3 id r1 fh fv fc fd
r3 r3 id r1 r2 fd fc fh fv
fv fv fd fh fc id r2 r1 r3
fh fh fc fv fd r2 id r3 r1
fd fd fh fc fv r3 r1 id r2
fc fc fv fd fh r1 r3 r2 id
تشكل العناصر id و r1 و r2 و r3 زمرة جزئية، تلك المحددة باللون الأحمر في أعلى اليسار. المجموعة المرافقة اليمنى واليسرى لتلك الزمرة الجزئية محددة باللونين الأخضر (في الصف الأخير) والأصفر (العمود الأخير) بالترتيب.

يمكن تطبيق بديهيات الزمر على تلك المجموعة من التماثلات والعمليات السابق وصفها كالتالي:

  1. تحقيق بديهية الانغلاق يتطلب أن يكُون التركيب b \bullet a لأي تماثلين a و b تماثلًا أيضًا. هذا مثال أخر على عملية الزمرة اعتمادًا على الجدول في اليسار:
    r_3 \bullet f_h = f_c
    أي أن الدوران بزاوية 270° يمينًا بعد الانعكاس أفقيًّا يساوي الانعكاس لقطري العكسي (fc). والمغزى أن أي تركيب لتماثلين يُكون تماثلًا آخر، يُمكن التأكد من ذلك بالاستعانة بالجدول في اليسار.
  2. تتعامل التجميعية مع العمليات التي يركَّب فيها أكثر من تماثلين. توجد طريقتان نستطيع بها استخدام العناصر a و b و c من الزمرة D4 على الترتيب لتكوين تماثل لمربع: الأولى هي أن يركَّب العنصران a و b في تماثل واحد أولًا، ثم أن يركَّب هذا التماثل مع c. والطريقة الأخرى هي أن يركَّب أولًا b و c، ثم أن يركَّب التماثل الناتج مع a. في حالة التجميعية يكون:
    (a \bullet b) \bullet c = a \bullet (b \bullet c)
    وهذا يعني أن ناتجي هاتين الطريقتين متساويان، أي يمكن تبسيط ناتج تركيب العديد من العناصر في الزمرة في أي تجميع.

التاريخ[عدل]

تطور المفهوم العصري للزمرة المجردة انطلاقا من مجموعة من مجالات الرياضيات. أول حافز نحو نظرية الزمر هو محاولة حلحلة المعادلات الحدودية من الدرجة الخامسة فما فوق. عالم الرياضيات الفرنسي إيفاريست جالوا والذي عاش في القرن التاسع عشر، مطورا أعمال كل من باولو روفيني وجوزيف لاغرانج، أعطى معيار قابلية حلحلة معادلة حدودية ما، بالنظرإلى زمرة التماثل المكونة من جذور هاته الحدودية. عناصر هاته الزمرة والمسماة زمرة غالوا، تتطابق مع تباديلٍ ما للجذور. في البداية، أفكار غالوا رُفضت من طرف معاصريه، ولم تنشر إلا بعد وفاته. درست زمر التبديل الأكثر تعميما, فيما بعد, وبشكل خاص من طرف أوغستين لوي كوشي. أرثور كايلي في كتابه حول نظرية الزمر، لكونها تتعلق بالمعادلة الرمزية θn = 1, (المنشور عام 1854), أعطى أول تعريف مجرد للزمر المنتهية.
كانت الهندسة الرياضية المجال الثاني حيث تستعمل الزمر بشكل منهجي, وخصوصا زمر التماثل كجزء من برنامج ارلنغن، عمل نشره فيليكس كلاين عام 1872. بالإضافة إلى تطوير سوفوس لي لجميع هاته الأفكار، فلقد أسس دراسة زمر لي. كان ذلك عام 1884.

أما المجال الثالث الذي كان وراء تطور نظرية الزمر، فهو نظرية الأعداد. بُنى بعض الزمر الأبيلية استعملت بصفة غير مقصودة في عمل كارل فريدريش غاوس حول نظرية الأعداد، والذي يحمل عنوان استفسارات حسابية (عام 1798) ; كما استعملت أيضا بصفة مقصودة من طرف ليوبلد كرونكر. في عام 1847، كان إرنشت كومر م بين العلماء الأوائل الذين حاولوا حلحلة مبرهنة فيرما الأخيرة, وذلك بتطوير زمر تصف تفكيك عدد صحيح إلى جداء أعداد أولية.

اقتراب واندماج مختلف هاته المصادر لتشكل نظرية متماسكة للزمر ابتدأ مع مجيىء كامي جوردان وعمله معالجة الاستبدالات والمعادلات الجبرية. كان ذلك في عام 1870.

النتائج الابتدائية لبديهيات الزمر[عدل]

وحدة العنصر المحايد ووحدة العناصر المقابلة[عدل]

للبديهيات المعرِفة للزمر نتيجتان مهمتان هما : وحدة العنصر المحايد ووحدة العنصر المقابل. لا يمكن لزمرة ما أن تحتوي إلا على عنصر محايد واحد. وكل عنصر في الزمرة يملك عنصرا مقابلا واحدا بالظبط (لا يمكن له أن لا يملك نهائيا عنصرا مقابلا ولا يمكن له أن يملك عنصرين مقابليان فأكثر)

القسمة[عدل]

في الزمر، يمكن القيام بعملية القسمة : ليكن a و b عنصرين من الزمرة G، إذن هناك حل وحيد x للمعادلة xa == b. فعليا, ضرب حدي هاته المعادلة بالعنصر a−1 من الجهة اليمنى يعطي الحل x = xaa−1 == ba−1

المفاهيم الأساسية[عدل]

أمثلة وتطبيقات[عدل]

الأعداد[عدل]

مجموعة من أنظمة الأعداد، كنظامي الأعداد الصحيحة والأعداد الجذرية تتمتع ببُنى الزمر. في حالات معينة، كما هو الحال بالنسبة إلى الأعداد الجذرية، كل من عمليتي الجمع والضرب يمثل بنية زمرة. تمثل هذه الأنظمة القاعدة التي وضعت على بُنى جبرية أخرى أكثر عمومية هي الحلقات والحقول.

الأعداد الصحيحة[عدل]

وصفت زمرة الأعداد الصحيحة تحت عملية الجمع أعلاه. ويرمز إليها ب (+ ,Z). مجموعة الأعداد الصحيحة بالنسبة إلى عملية الضرب لا تمثل زمرة : بديهيات الانغلاق والتجميعية والعنصر المحايد كلها محققة، ولكن بديهية العنصر المقابل غير محققة. فعلى سبيل المثال، a = 2 هو عدد صحيح، ولكن العنصر المقابل له هو العدد الذي يحقق المعادلة a · b = 1 هو b = 1/2. وهو عدد غير صحيح ولكنه جذري. هكذا ليس لكل عنصر من Z مقابل تحت عملية الجداء.

الأعداد الجذرية[عدل]

الزمر الدائرية[عدل]

الجذور العقدية الست من الدرجة السادسة للوحدة تكون زمرة دائرية في إطار عملية الضرب. يعتبر z عنصرا بدائيا بينما z2 ليس كذلك لأن القوى الفردية ل z ليست قوى ل z2.

زمرة دائرية هي زمرة جميع عناصرها هي قوى لعنصر a ما. باستعمال الرموز المعتمدة على الجداء، فإن عناصر الزمرة هي :

..., a−3, a−2, a−1, a0 = e, a, a2, a3,...

حيث a2 تعني aa.

هذا العنصر يسمى العنصر المولد للزمرة.

المثال النوعي لهذا الصنف من الزمر هو الزمرة المكونة من الجذور العقدية للوحدة من الدرجة n واللائي يعطيها العدد العقدي z الذي يحقق المعادلة zn = 1 وحيث عملية الزمرة هو الجداء. كل زمرة دائرية عدد عناصرها هو n, مرتنطة بهدة الزمرة السابقة الذكر، بتطبيق مساوي للقياس.

بعض الزمر الدائرية لها عدد غير منته من العناصر. في هذه الزمر، بالنسبة لكل عنصر a مختلف عن الصفر، جميع قوى a مختلفة عن بعضها البعض. رغم استعمال مصطلح دائري، فإن عناصر الزمرة لا تدور، كما هو الحال بالنسبة لزمرة جذور الوحدة المشار إليها أعلاه.

زمر التماثل[عدل]

الزمر الخطية العامة ونظرية التمثيل[عدل]

زمر غالوا[عدل]

الزمر المنتهية[عدل]

إذا كانت الزمرة منتهية, أي أنها تحتوي على عدد منتهٍ من العناصر, فإنها تسمى بالزمرة المنتهية ويُعرّف «ترتيب» الزمرة (بالإنجليزية: Order) أنّه عدد عناصر المجموعة التابعة لها.

تصنيف الزمر البسيطة المنتهية[عدل]

زمر ببُنى إضافية[عدل]

زمر طوبولوجية[عدل]

زمر لي[عدل]

سميت هكذا نسبة إلى عالم الرياضيات سوفوس لي.

تعميمات[عدل]

انظر أيضا[عدل]

هامش[عدل]

^ أ: تسرد ماثماتيكل ريفيوز 3,224 ورقة بحثية عن نظرية الزمر وقوانينها كُتبت عام 2005.


^ أأ: أُعلن عن التصنيف عام 1983، لكن برهانه كان ناقصًا.


^ ب: تكون بديهية الانغلاق معنية شرط أن تكون • عملية ثنائية، ولذلك يتجاهلها بعض الكتاب. ومع ذلك فإن بنى الزمر كثيرًا ما تبدأ بعملية معرفة في مجموعة شاملة، ولذلك فمن الشائع استخدام خطوة الانغلاق في برهنة أن نظامًا ما هو زمرة. لانغ 2002


مصادر[عدل]

  1. ^ هيرستاين 1975, قسم 2، ص 26
  2. ^ هول 1967, قسم 1.1، ص 1: "The idea of a group is one which pervades the whole of mathematics both pure and applied."
  3. ^ لانغ 2005, الملحق 2، ص 360
  4. ^ هيرستاين 1975, قسم 2.1، ص 27
  5. ^ رامون 2010, ص 5
  6. ^ هيرستاين 1975, قسم 2.6، ص 54

مراجع[عدل]

مراجع عامة[عدل]

مراجع خاصة[عدل]

مراجع تاريخية[عدل]