سرعة ختامية

السرعة النهائية أو الختامية (بالإنكليزية: Terminal velocity) هي السرعة العظمى الثابتة بسبب احتكاك الجسم بمادة مائعة مثل ا لهواء أو الماء.

السرعة الختامية عندما تكون قوة الجاذبية Fg مساوية قوة الاحتكاك Fd (الاعاقة) للمائع

العلاقة الرياضية

يمكن اشتقاق قانون السرعة الختامية من العلاقات الفيزيائية الأساسية للسقوط الحر مع ادراج قوة مقاومة المائع:

$F_{net} = m a = m g - {1 \over 2} \rho v^2 A C_\mathrm{d} \ .$

تكون محصلة القوة عند الاتزان صفر (F = 0);

$m g - {1 \over 2} \rho v^2 A C_\mathrm{d} = 0 \ .$

وبحل المعادلة في v ينتج

$\sqrt\frac{2mg}{\rho A C_\mathrm{d}} \ .$

حيث

Vt = السرعة الختامية,

m = كتلة الجسم الساقط,

g = عجلة الجاذبية الأرضية,

Cd = معامل الاعاقة,

ρ = كثافة المائع الذي يمر الجسم عبره,

A = مساحة الجسم البارزة نحو المائع.

تفاصيل اشتقاق معادلة السرعة

تفاصيل اشتقاق معادلة السرعة v كدالة في الزمن t

معادلة الاعاقة $m a = m \frac{\mathrm{d}v}{\mathrm{d}t} = m g - \frac{1}{2} \rho v^2 A C_\mathrm{d} \ .$ وباستخدام التعويض k = 1⁄2ρACd. بقسمة الطرفين على m $\frac{\mathrm{d}v}{\mathrm{d}t}=g-\frac{kv^2}{m} \ .$ وبإعادة ترتيب المعادلة $dt=\frac{\mathrm{d}v}{g-\frac{kv^2}{m}} \ .$ بمكاملة الطرفين $\int_0^t {\mathrm{d}t^\prime} = \int_0^v \frac{\mathrm{d}v^\prime}{g-\frac{kv^{\prime 2}}{m}} = {1 \over g}\int_0^v \frac{\mathrm{d}v^\prime}{1-\alpha^2 v^{\prime 2}} \ ,$ حيثα = ( k⁄mg )1⁄2. وبالتكامل ينتج: $t-0={1 \over g}\left[{\ln(1+\alpha v^\prime) \over 2\alpha}-\frac{\ln(1-\alpha v^\prime)}{2\alpha}+C \right]_{v^\prime=0}^{v^\prime=v}={1 \over g} \left[{\ln \frac{1+\alpha v^\prime}{1-\alpha v^\prime} \over 2\alpha}+C \right]_{v^\prime=0}^{v^\prime=v},$ وبشكل أبسط $t={1 \over 2\alpha g} \ln \frac{1+\alpha v}{1-\alpha v} \ .$ من تعريف معكوس الظل الزائدي: $\frac{1}{2} \ln \frac{1+\alpha v}{1-\alpha v}=\mathrm{artanh}(\alpha v)$. وبالتالي يكون الحل $t=\frac{\mathrm{artanh}(\alpha v)}{\alpha g} \ ,$ وبشكل آخر, $\frac{1}{\alpha}\tanh(\alpha g t)=v \ ,$ مع tanh دالة الظل الزائدي . بافتراض أن g موجبة, وبالتعويض عن α, السرعة v تصبح $v=\sqrt{\frac{mg}{k}} \tanh \left( \sqrt{\frac{k}{mg}} g t\right) \ .$ وبعدها, عند k = 1⁄2ρACd تم تعويضها, السرعة v بالشكل المطلوب: $v=\sqrt\frac{2mg}{\rho A C_d} \tanh \left(t \sqrt{\frac{g \rho A C_d }{2m}}\right),$ عندما يؤول الزمن إلى مالانهاية ( ∞ → t ), يصبح الظل الزائدي 1, وينتح عنه السرعة الختامية $\sqrt\frac{2mg}{\rho A C_d} \ .$

انظر اثضا

• سرعة
• سرعة الصوت
• سرعة الضوء