شجرة فيثاغورس

من ويكيبيديا، الموسوعة الحرة

شجرة فيثاغورس هي شجرة كسيرية مكونة من عدة مربعات. سميت الشجرة تيمناً بالعالم فيثاغورس لأن كل ثلاثة مربعات متماسة تكون مثلث قائم الزاوية و الذي هو شكل يستخدم عادة في إثبات مبرهنة فيثاغورس.

فإذا كان المربع الأول الكبير قياسه 1×1 فإن شجرة فيثاغورس تلائم مستطيلاً قياسه 6×4.

[عدل] إنشاء الشجرة

إن إنشاء شجرة فيثاغورس يبدأ بمربع. أعلاه مربعان آخران، كلاً منهما ينقص طوله بكسر خطي مقداره $\frac{1}{2}\sqrt{2}$ ، و ذلك التطبيق يكرر مراراً وتكراراً إلي أصغر مربع (ملا نهاية). الرسم التالي يوضح أول 4 تكرارات مسلسلة في بناء شجرة فيثاغورس.


مسلسل صفر	مسلسل 1	مسلسل 2	مسلسل 3

[عدل] مساحة

إن n تكرار سيضيف 2ⁿ مربع لها المساحة (½√2)ⁿ من أجل مساحة كلية تساوي الواحد 1. وعليه فإن مساحة الشجرة سوف تنمو في حدود اللانهاية n→∞. لكن في الواقع فإن مساحة المربعات سوف تتراكب بعد التكرار الخامس، وبالتالي تكون مساحة الشجرة نهائية وتكون المساحة العظمى مساوية لمساحة 6×4 مربعات.

من الممكن ببساطة برهان أن مساحة شجرة فيثاغورس A يكون في المجال 5 < A < 18