صيغ فييتة

من ويكيبيديا، الموسوعة الحرة
اذهب إلى: تصفح، ‏ ابحث

في الرياضيات، وتحديداً في الجبر يطلق اسم صيغ فييتة (بالإنجليزية: Viète's formulas) على الصيغ التي تربط جذور كثير حدود ما بمعاملات كثير الحدود هذا.

سميت هاته الصيغ هكذا نسبة إلى فرانسوا فييت.

الصيغة الرياضية[عدل]

إذا كان لدينا كثير الحدود التالي:

P(X)=a_nX^n  + a_{n-1}X^{n-1} +\cdots + a_1 X+ a_0

من الدرجة n\ge 1 بمعاملات عقدية (بحيث أن المعاملات a_0, a_1, \dots, a_{n-1}, a_n هي أعداد عقدية وa_n لا يساوي الصفر)، وبحسب المبرهنة الأساسية في الجبر فإن لكثير الحدود هذا n جذر (ليس بالضرورة أن تكون متمايزة)x_1, x_2, \dots, x_n. حيث تنص صيغ فييتة على ما يلي

\begin{cases} x_1 + x_2 + \dots + x_{n-1} + x_n = \tfrac{-a_{n-1}}{a_n} \\  (x_1 x_2 + x_1 x_3+\cdots + x_1x_n) + (x_2x_3+x_2x_4+\cdots + x_2x_n)+\cdots + x_{n-1}x_n = \frac{a_{n-2}}{a_n} \\
\vdots \\ x_1 x_2 \dots x_n = (-1)^n \tfrac{a_0}{a_n}. \end{cases}

مثال[عدل]

من أجل المعادلة P(X)=aX^2 + bX + c والتي هي معادلة من الدرجة الثانية فتعطي صيغ فييتة على أن جذور هذه المعادلة تحقق ما يلي:

 x_1 + x_2 = - \frac{b}{a}, \quad x_1 x_2 = \frac{c}{a}.